基于叠加法作结构弯矩图的新思考

2018-11-12景正凤四川核工业技师学院四川成都611130

安徽建筑 2018年6期

景正凤（四川核工业技师学院，四川成都 611130）

1 引言

在土木工程实践中，往往须对实际结构抽象简化成结构计算简图，然后进行内力分析，并作弯矩图，这也是工程设计中必不可少的步骤，而通过一步步利用力和力矩平衡方程求解支座反力，再作出剪力图进而作出弯矩图在工程实际中是很难实现的，原因在于平衡方程过多，还有联立方程求解太过于麻烦，这都给弯矩图的绘制带来了诸多不便。而弯矩图又是梁和刚架最重要的内力图，作弯矩图也是结构力学最重要的基本功，往往“手算怕繁，电算怕乱”，手作弯矩图必须化繁为简，才能提高速度。尤其对于复杂结构，特别是超静定结构，还要灵活运用叠加法进行分析和计算，并充分利用力学概念和适当的定性分析，将定量计算压缩到最低限度，才可大大提高作弯矩图的速度和正确性。

2 关于叠加法

2.1 叠加原理

在小变形的情况下，结构在几个荷载共同作用下所产生的内力，等于各个荷载单独作用时所产生的内力之和。这也就是说可以将多种类型荷载作用下的结构看成是单一荷载作用下的结构之和，而单一荷载作用下的结构的弯矩图，用截面法较易求得和掌握。如图1所示。根据叠加原理，简支梁在均布荷载和两端铰支座处集中力偶荷载共同作用下所产生的内力，等于其均布荷载和两端铰支座处集中力偶荷载单独作用时所产生的内力之和，即图 1（c）= 图 1（a）+图 1（b）。

图1 叠加法画弯矩图

2.2 叠加时的注意事项

①叠加时宜先作直线形的弯矩图，再以直线边为基线叠加曲线形或折线形的弯矩图，重叠部分擦去即可。

②弯矩图的叠加不是两个图形的简单叠加，而是对应点处纵坐标的叠加。即必须注意叠加后的每一纵坐标应等于单一荷载作用时弯矩图中相应的纵坐标之和，同侧的纵坐标应相加，异侧的纵坐标应相减；此外，对纵坐标具有不同正负号的部分，叠加后两个图形重叠部分表示两个纵坐标值互相抵消，不重叠部分即为所求的弯矩图。如图2所示。

2.3 叠加法的解算

①选定控制点（此时控制点不包括各均布荷载段跨中点），求出控制截面的弯矩值。

②分段作弯矩图。当控制截面间无荷载作用时，根据控制截面的弯矩值，即可作出直线弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，根据控制截面的弯矩值作出相应直线弯矩图后，还应叠加上这一段按简支梁求得的弯矩图。

3 分段叠加法

分段叠加法是指用叠加法作某一直杆段弯矩图的方法。即任意段直杆都可当作简支梁，并可以利用叠加法来作该直杆段的弯矩图。如图3所示，对图示简支梁把其中的AB段取出，其隔离体如图所示，把AB隔离体与相应简支梁作一对比，显然两者是完全相同的，因此，上图中简支梁AB段的弯矩图可以用与简支梁相同的方法绘制，即把MA和MB标在杆端，并连以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA和MB。

4 叠加法的活用

叠加法是以叠加原理为依据的结构分析方法，它的好处是能将一个复杂的问题分解为若干个简单的问题进行分析，具有广泛的适用性，尤其是分段叠加法。如前所述，要作结构中某一直杆段的弯矩图，只要先求杆段两端的弯矩，作相应的“杆端弯矩图”（直线）；再将该段直杆看成简支梁，作它在横向荷载和力偶荷载作用下的弯矩图，简称“简支梁弯矩图”，在杆端弯矩图的基础上叠加“简支梁弯矩图”，就得到该杆端的弯矩图。事实上，这一方法可用公式表示为M（x）=Me（x）+Mo（x），式中Me（x）和Mo（x）分别对应于杆端弯矩图和简支梁弯矩图，M（x）为杆段的实际弯矩图。

如图4所示三铰刚架的弯矩图，传统的解法可以分以下几个步骤：①求支座反力，先用整体平衡条件求竖向反力，再取左边或右边半个刚架为隔离体，对顶铰取矩，求水平反力；②求控制截面的弯矩，主要是竖杆顶部结点的弯矩；③用分段叠加法作弯矩图。

显然，以上解法其正确性是没问题的，只是刻板了一点，其实这道题可以换一种灵活的方法来求解。即首先大致作出弯矩图的形状。竖杆不受荷载作用，弯矩图为直线；两个支座水平反力大小相等、方向相反，所以竖杆顶端的弯矩一定相等，从而水平杆两端的弯矩也相等；水平杆受均布横向荷载作用，弯矩图为二次抛物线，这条抛物线一定要通过顶铰；由于对称性，抛物线的形状也是对称的。跨度为l的简支梁在集度为q的均布荷载作用下，其跨中弯矩值为，由叠加法反推可知，水平杆两端以及竖杆顶端的弯矩也是。如果需要，还可以很容易的由弯矩图求出支座的水平反力。以上求解过程写出来是一大堆文字，好像很啰嗦，实际上，它的主要工作是在“心里”完成的，是利用力学概念和定性的分析，计算被压缩到了最低限度，从而大大提高了作弯矩图的速度，并且准确。