☉云南省曲靖市会泽实验高中 许德福

我们知道，函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是：曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k等于f′（x0）.利用导数的几何意义，可以用来求解曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率、切点、切线方程、参数等问题.导数的几何意义是每年高考考查是热点之一，有时直接考查相关的几何意义，但经常也通过几何意义的变换来加以考查，注意这是一大导向.下面结合实例剖析其应用.

一、切线斜率问题

根据导数的几何意义，曲线在切点处的斜率就是对应的该点处的导函数的值.

例1已知函数f（x）=ex，x∈R，若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图像相切，求实数k的值.

分析：结合反函数的定义，通过导数运算，利用导数的几何意义建立关系式加以求解.

解：f（x）的反函数为g（x）=lnx，设直线y=kx+1与g（x）=lnx相切于点P（x0，y0），则有

点评：本题主要考查导数的几何意义，结合相关直线与曲线相切的条件来建立关系式，考查运算能力与应用能力等.

二、切线方程问题

通过导数的几何意义，结合切线斜率的求解，利用直线方程解决与之相关的切线方程.

分析：根据偶函数的性质确定相应的函数解析式，通过求导，结合导数的几何意义确定切线的斜率，利用直线的点斜式方程即可求解与化简.

点评：本题主要考查导数的几何意义、切线的求法，关键考查导数的几何意义等基本知识，考查运用数学知识分析和解决具体问题的能力，以及各相关数学知识点的联系与综合能力等.

三、切线交点问题

结合导数的几何意义，利用题目条件中的直线的位置关系可以用来求解对应的切线坐标.

例3 设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x>0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.

点评：根据导数的几何意义，结合已知条件中切线的斜率，求出相应的切点的横坐标，再代入原曲线方程，求解对应的切点坐标.关键是导数的运算与导数的几何意义的应用.

四、切线参数问题

利用导数的几何意义，结合切线的斜率、切线方程等条件可以用来解决与切线有关的参数取值问题.

例4 已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=________.

分析：结合导数的几何意义，根据曲线过已知点确定切线的方程，利用该切线与相关曲线相切，通过联立方程结合判别式来求解相关的参数值.

点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的运算及方程组的求解，关键结合题目条件建立相应的关系式进而求解相应的参数值问题.

五、切线条数问题

根据导数的几何意义，结合导函数的性质求解对应的导函数中的自变量的值，进而确定满足条件的切线条件问题.

例5 已知曲线C：y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向C引切线的条数为________条.

分析：当点不在曲线上时，要先设出切点，求出相应切线的斜率，写出相应的切线方程，把已知点代入切线方程，求出所设切点中的未知数，根据未知数的解的个数确定满足条件的切线的条数.

解：由于y′=3-3x2，设切点Q（x0，y0），则切线l的斜率为k=3-3x02，则切线l的方程为y-y0=（3-3x02）（x-x0），即y=（3-3x02）x+2x03.

由点P（2，2）在直线l上，故2=（3-3x02）×2+2x03.

所以（x0-1）（x02-2x0-2）=0，解得x0=1或x0=1+或x0=1-

所以过点P向C可引3条切线，故填答案：3.

点评：对于点不在曲线上的切线问题，要先确定所给的点的坐标不满足曲线方程，此时要先设出相应的切点坐标，利用导数的几何意义求出相应切线的斜率，再结合直线的点斜式方程求出含参数的切线方程，再把已知点代入求解出对应的参数，进而解得切线方程.

六、切线应用问题

根据导数的几何意义，可以用来解决与导数的几何意义、切线等相关问题有关的实际应用问题、综合交汇问题等.

例6若函数y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）.

A.y=sinx B.y=lnx C.y=exD.y=x3

分析：结合导数的几何意义与导数运算，通过各自求导，结合题目条件，必须使得两点处的导数值的乘积必须是-1，结合导数值的取值情况加以分析与应用.

点评：通过创新定义，把导数的运算与导数的几何意义综合起来，用来解决两切线的位置关系问题.解答本题的关键是正确理解题中的创新定义，要使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，那么这两点处的导数值的乘积必须是-1，结合导数的取值情况加以排除比较容易掌握.

导数的几何意义在高考中的考查方式往往是通过给定切线的方程、切线的斜率、切线与已经直线的位置关系等，结合导数的运算、关系式的确定等来求解切线的相关问题（斜率、方程）、参数问题、切线的条数等，是高考中比较常见的考点之一，也是我们平时要加以熟练掌握的一个知识点.

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