☉江苏省南京市第十二中学 韩 静

探索式教学是一种非常前沿的教学方式，其在上个世纪五十年代渐渐成为一种合理的教学方式.据笔者在各种参考资料上研究表明，探索式教学在国外公立学校中的使用频率是相当高的，其目的旨在通过学生探索使其主动建构知识的形成，从而牢固地掌握知识体系.本文以三角函数内容《两角差的余弦》为例，谈一谈自身的教学设计，如何让学生理解公式的形成、推导，以及这样设计的原因，请读者指正.

一、背景分析

本课是人教版必修四第三章第一节的内容，它是正弦线、余弦线和诱导公式教学内容的延续，同时也是两角和、差和倍角公式的源头，是三角恒等变换的基础.它对于三角变换、三角恒等式的证明都有着极强的工具性作用，是承上启下的重要知识.

从学生的教学掌握水平来看，其已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，学习了诱导公式.理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程.然而学生对向量作为工具处理问题的广泛可用性体会不深，很难将一个三角问题联想到用向量来解决.同时思维不够严谨，教学时要引导学生区分清楚两角差与相应向量夹角的区别和联系.

完成本节知识的主要目标是：第一，通过向量的数量积推导两角差的余弦公式.通过公式的简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能；第二，通过公式的推导，着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力.同时通过公式的灵活运用，培养学生的转化思想和变化能力；第三，在教师的设计下，通过探索式教学，启发学生自我发现、自我钻研的精神，从学科素养的角度提高学生的核心素养.

二、设计思路

（1）两角差的余弦作为和差关系的起始课，是有一定难度的.这里往后的三角公式与前期的三角公式有着本质的不同，因此如何设计教学成为关键.关于两角差余弦公式的认知起点：我们都知道，教学应该从学生已有的与本节课相关的知识作为认知起点来展开教学，那么什么知识与两角差的余弦公式有直接联系呢？答案是诱导公式.我们都知道诱导公式是两角和差公式的特殊情况，按照特殊与一般地辩证思想，诱导公式中反应出来的核心知识，思想方法在两角差的余弦公式中会有更一般的反应.

图1

图2

诱导公式（一除外）反映圆的对称性，看如下事实：π-α与α的终边关于的终边所在直线对称，如图1-α与α的终边关于的终边所在直线对称，可以归纳出β-α与α的终边关于的终边所在直线对称.这说明两角差的余弦公式本质是对称，是一个角的终边关于另一个角的一半的终边所在直线的对称问题，是圆的对称性的广泛意义上的代数解析式.如图2，从对称性角度求解如下：

直角坐标系xoy 直角坐标系x′oy′

（2）鉴于此处的探究本质上是教师牵引学生完成，删去教材中“几何证明”部分.对比人教版、北师大版、苏教版教材，只有人教版有“几何证明”内容，表明“几何证明”不是必需的；从证明的简洁程度和教材的编排顺序来看，着重要学习的是向量法证明，“几何证明”的作用是思路的一个过渡，是考虑到证明两角差余弦公式时学生不容易想到向量方法，而是更容易想到三角函数线，根据三角函数线设计的一个办法.新的设计只要从三角函数线入手，逐步迁移到向量法即可.

（3）探索过程不追求一步到位，先不理会其中的细节，抓住主要问题进行探索，然后再反思完善.设计思路经历以下两个阶段的修正：

图3

图4

第一阶段：如图3，图4，将α，β特殊成45°和30°，将求cos（α-β）问题修改为求cos15°，有利于显化已知条件和所求解，让学生有可能从解三角形的角度解决问题，如图3，图4，即在等腰△AOB中，已知三边，求顶角∠AOB.

设计的好处如下：第一，从求cos（π-α）迁移到求cos很自然地联系到角的定义，单位圆，三角函数线；第二，很自然地体现角-α的终边.这里有一个问题，是否需要体现-α的终边？之前的学习通过旋转的方式将角推广到任意角，并用终边与单位圆的交点来定义三角函数，而本课又是探究-α的三角函数，应该画出-α的终边，从而体现这个角的三角函数，让学生产生对已学知识的联系；第三，通过探究-α的位置，如图5，得到△AOP≅△P1OP2，将余弦线OM的长等价到OM2的长，通过提示OM2的含义：线段OP2在线段OP1上的射影，容易联想到向量投影，从而过渡到向量方法求解.

图5

三、步骤分析

步骤2：你认为公式会是cos（α-β）=cosα-cosβ吗？让学生自己动脑，动手验证，从而认识要探索的意图：公式在“恒等”方面要求的意义.第一，使学生明确常犯的直觉性错误为什么是错的；第二，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.

步骤3：回忆cos（π-α）=-cosα推导的过程.

意图：教师展示“回顾过程”，回顾三角函数的定义，为下一步做好铺垫.

图6

图7

步骤5：分析要求的量和已知条件.

意图：学生依次思考以下问题：第一，已知条件都集中在哪个三角形内，已知什么？第二，余弦线OM可以转化为△P1OP2中哪段长？第三，有没有办法求解OM1的长.

步骤6：注意到OM2的含义：线段OP2在线段OP1上的射影.你在学习什么知识时接触过射影的概念？

意图：让学生经历怎样用向量知识作出探索的过程：第一，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么表示？第二，怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果；第三，③将求射影迁移到求夹角余弦上来.

图8

图9

步骤7：推导cos（α-β）.

意图：第一，观察以上图8和图9，指出α-β与向量夹角θ之间的关系；第二，推导cos（α-β）与cosθ的关系.

步骤8：用两角差的余弦公式证明：

意图：体会诱导公式是两角和差公式的特殊情况.

步骤9：教材例题1、例题2.

意图：通过应用理解公式最基础的练习.第一，三角变换关注角的拆分，易于理解；第二，由于是具体角，拆分过程容易进行；第三，拆分的多样性，决定变换的多样性；第四，思考问题：由求sin75°的值，为后面变换函数种类的思考作出铺垫；第五，它需要思考实用公式前应做出的必要准备；第六，作出必要准备要运用同角三角函数的知识.

步骤10：小结.

意图：教师可引导学生围绕以下方面小结：第一，对公式的探索过程：怎么联系有关知识？怎么进行探索？在探索方法方面的启示；第二，利用差角余弦公式方面：对公式结构和功能的认识；三角式变换的特点；表述变换过程，引导学生思考建构探索过程中解决问题的方式方法.

总之，探索式课堂教学的设计是整节课流程的关键，从课程流程中，我们不难发现教师合理的设计是引发学生探索的主动力，在教学中需要不断引导学生探索，这种学习方式有助于学生后续形成正确的知识学习观，有助于其学科素养能力的形成.

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