☉山西省吕梁市贺昌中学 高永亮

高中数学中，函数部分在高考中是重点也是难点，其中抽象函数问题，学生在学习过程中普遍觉得理解困难，不易掌握，笔者对抽象函数部分的内容进行整理与分析，供广大师生在教与学中参考与借鉴.

所谓抽象函数是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有某些特征或性质，并用符号关系式表示的函数.

一、抽象函数与定义域

题型一：已知函数y=f（x）的定义域，求函数y=f（g（x））的定义域

例1已知函数y=f（x）的定义域为［-2，2］，求函数y=f（x-1）+f（x+1）的定义域.

解析：由函数y=f（x）的定义域为［-2，2］，因此有-2≤x-1≤2且-2≤x+1≤2，得-1≤x≤1，因此y=f（x-1）+f（x+1）的定义域为［-1，1］.

说明：已知函数y=f（x）的定义域，对于函数y=f（g（x）），g（x）整体作为y=f（x）中自变量，它的函数值属于y=f（x）的定义域，由此推导出g（x）中x的取值范围，就是y=f（g（x））的定义域.

题型二：已知函数y=f（g（x））的定义域，求函数y=f（x）的定义域

例2已知函数y=f（2x-4）的定义域为［-1，2］，求函数y=f（x）的定义域.

解析：由函数y=f（2x-4）的定义域为［-1，2］，知-1≤x≤2，得-6≤2x-4≤0.因此函数y=f（x）的定义域为［-6，0］.

说明：函数y=f（g（x））的定义域，就是通过g（x）中自变量x的取值范围，进一步推导出g（x）的值域，就是y=f（x）的定义域.

二、抽象函数与求值及抽象函数与单调性

例3设函数y=f（x）是定义在R上的函数，对于m，n∈R，恒有f（m+n）=f（m）·f（n）（f（m）≠0，f（n）≠0），且x>0时，0

（1）（f0）=1；

（2）x∈R时，恒有（fx）>0成立；

（3）函数y=（fx）在R上为减函数.

证明：（1）令m=0，由f（m+n）=f（m）·f（n），得f（n）=（f0）·（fn）.又（fn）≠0，得（f0）=1.

（2）由（fm+n）=（fm）·（fn），得（fx）·（f-x）=（f-x+x）=（f0）=1.

当x>0时，由题意得0<（fx）<1；当x=0时，由（1）得（f0）=1；当x<0时，（f-x）∈（0，1）

综上所得，x∈R时，恒有（fx）>0成立.

（3）设x1，x2∈R且x10，则（fx）2=［f（x2-x）1+x1］=（fx-x）·（fx），即（fx2）=（fx-x）<1.

又（fx1）>0，得（fx2）<（fx1），因此函数y=（fx）在R上为减函数.

说明：这类问题的难点是第（3）问，关键是构造x2=（x2-x1）+x1，从而巧妙地得到即（fx2）<（fx1），进而判定出函数y=（fx）在R上为减函数.

三、抽象函数与奇偶性

例4已知函数y=f（x）是定义在R上的不恒等于零的函数，对于x，y∈R，恒有f（x·y）=yf（x）+xf（y），判定函数y=f（x）的奇偶性.

解析：令x=y=1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），则f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0.

再令x=y=-1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），则f（1）=-f（-1）-f（-1），即f（-1）=0.令y=-1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），则f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），因此函数y=f（x）为奇函数.

说明：对于给定抽象函数关系式，要判定其奇偶性，思路同样比较清晰，在给定关系式中，只要对变量能灵活赋值并且构造出关于f（-x）与f（x）的关系式，一般就可以判定函数y=f（x）的奇偶性.

四、抽象函数与对称性

例5（1）若函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），则函数y=f（x）的图像关于直线________对称.

（2）若函数y=f（x）满足f（x+3）=-f（5-x），则函数y=f（x）的图像关于点________中心对称.

解析：（1）令y=f（3+x）=f（3-x），知函数y=f（x）的图像上任一点（3+x，y），总有一点（3-x，y）与它对应，而点（3+x，y）与点（3-x，y）关于直线x=3对称，因此函数y=f（x）的图像关于直线x=3对称.

（2）令y=f（x+3）=-f（5-x），知函数y=f（x）的图像上任一点（3+x，y），总有一点（5-x，-y）与它对应，而点（3+x，y）与点（5-x，-y）关于点（4，0）中心对称，因此函数y=f（x）的图像关于点（4，0）中心对称.

说明：一般地，（1）若函数y=f（x）对于定义域内的任一自变量x都有f（a+x）=f（b-x），则函数y=f（x）的图像关于直线对称；（2）若函数y=f（x）对于定义域内的任一自变量x都有f（x+a）=-f（b-x），则函数y=f（x）的图像关于

五、抽象函数与周期性

例6已知函数y=f（x）在定义域内的最小正周期为T.

（1）若f（x+1）=-f（x），求函数y=f（x）的周期T；

（3）若f（x+2）=f（x+1），求函数y=f（x）的周期T.

解 析 ：（1）由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=f［（x+1）+1］=-f（x+1）=f（x）.

因此函数y=f（x）为周期函数，且函数的周期T=2.

因此函数y=f（x）为周期函数，且函数的周期T=2.

（3）由f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）=f［（x-1）+2］=f（x）.

因此函数y=f（x）为周期函数，且函数的周期T=1.

说明：一般地，（1）函数y=f（x）在定义域内恒有f（x+a）=-f（x），则函数y=f（x）为周期函数，且函数的周期T=2|a|；（2）函数y=f（x）在定义域内恒有，则函数y=f（x）为周期函数，且函数周期T=2|a|；（3）函数y=f（x）在定义域内恒有f（x+a）=f（x+b），则函数y=f（x）为周期函数，且周期T=|a-b|.

六、通过函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等性质综合解答抽象函数中的不等式及其他综合应用问题

说明：综合利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决抽象函数的问题是函数中的难点，也是高考的热点，这方面要求学生一定要灵活运用各种性质，并熟练掌握这些性质的使用方法.

通过上面对抽象函数几个方面应用问题的研究，我们应该认识到理解抽象函数问题重在掌握相关概念并能灵活应用，合理使问题由抽象思维转化到具体的处理模式.上面内容是笔者的浅见，希能给广大师生在这方面的学习过程中有所帮助，不到之处大家批评指正.F