摘要：在高中数学课程中，三角函数是非常重要的一部分，而且也是高考必考的知识点之一，近年来三角函数分值在高考总分中所占比重逐年增加，因此必须要引起我们广大高中生的足够重视。

关键词：高中数学；三角函数；隐含条件；挖掘

一、 注重挖掘三角函数定义域中的隐含条件

在三角函数知识体系学习中，函数定义域是非常重要的要素之一，而且也是三角函数得解的根本。定义域虽然看起来简单，但是我们学生一旦对此不加留意，就很容易走入错误的解题路径，导致试题做错或漏解。而这些错误的发生，绝大多数时候都是没有找到题目中的隐含条件导致。

例1已知函数y=log1x（sinx+cosx），则此函数的单调递增区间范围为（）

A. 2kπ-π4，2kπ+π4 （k∈Z）

B. 2kπ-3π4，2kπ+π4 （k∈Z）

C. 2kπ+π4，2kπ+3π4 （k∈Z）

D. 2kπ+π4，2kπ+5π4 （k∈Z）

错解：由于0≤1x≤1，所以结合复合函数所具有的单调性，可以得出函数y=log1x（sinx+cosx）=log1x2sinx+π4，因此仅需要求函数g=sinx+π4的单调性便可以了。由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2k∈Z，可以得到x的区间范围为2kπ+π4，2kπ+5π4 （k∈Z），因此本题答案为D。

解析：上述解法之所以会出错，就是因为对给定函数的定义域范围考虑不周。所给定函数的定义域题干条件中并未直接给出，而是需要我们去挖掘，通过分析可知此题存在隐含条件：sinx+cosx>0，所以在求x取值范围时，应该在2kπ

评析：在三角函数试题求解中，我们高中生经常容易犯的错误就是对定义域考虑不周。对于单调的三角复合函数而言，其区间通常是三角函数子集，所以，我们当遇到这一类问题时，先要考虑定义域，通过对函数定义域所包含的隐含条件进行深入挖掘，再综合考虑求解，才能保证得出正确答案。

二、 注重挖掘已知条件当中的隐含条件

当解答三角函数相关试题时，我们很多同学都会因为没有考虑到题干给定已知条件中所包含的隐含条件而导致试题做错。所以，在遇到该类试题时，我们一定要仔细研读题干条件，弄清题意，理清思绪，认真分析已知条件，对已知条件吃准、吃透，找到題目中的隐含条件，从而才能让试题顺利得以解决，提高解题效率，起到事半功倍的效果。

例2已知正角α，β间存在如下关系式：α+β=23π，当ω=1-cos（π-2α）cotα2-tanα2-12sin2β的值最大时，试求此时的α，β值各为多少。

错解：由于α+β=23π，所以α=23π-β

因此ω=1-cos（π-2α）cotα2-tanα2-12sin2β=12（sin2α-sin2β）=-12sin23π-2β

由于2β>0，所以23π-2β<23π，得出23π-2β=-12π+2kπ（k∈N），也即是

β=-kπ+712π，α=-kπ+112π时，ω的值可以取到最大。

解析：该题在解答过程中之所以会出现错误，主要是因为当消去角度α时，没有考虑到隐含条件：α>0且0<β<23π，因此使得角度取值范围扩大。由限定条件：α>0，β>0，α+β=23π，可得出0<β<23π，所以-23π<23π-2β<23π，因此当23π-2β=-12π时，

ω的值可以取到最大，此时α=π12，β=712π。

评析：当给定三角函数数值，想要求解角度值时，我们一定要对题目中条件进行深入挖掘，尽可能挖掘到所有的隐含条件，防止角度值范围扩大而导致试题求解错误。

三、 注重挖掘轴线角方面的隐含条件

在高中数学三角函数知识学习中，角度终边经常会落在坐标轴上，这样的角度便称为“轴线角”。而轴线角的三角函数值或者不存在，或者便是特殊值，所以在求解该类角度的三角函数试题时我们应当特别留意，注意对轴线角方面的信息进行挖掘，找到题干中的隐含条件，从而才能得出最终的正确解。

例3已知条件：sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，试求cosα的数值。

错解：由于cosα=sinαtanα=2sinβ3tanβ=23cosβ，因此cosβ=32cosα，同时

sinβ=12sinα，结合上述三个等式可以解得cosα=±64。

评析：该试题求解过程之所以会出错是因为并未考虑到隐含的边界条件：tanα≠0，

tanβ≠0，但是题目当中并未对此条件作出说明，因此我们很多学生会忽略这样的条件，实际上tanα=0，tanβ=0这样的条件都是成立的，因此cosα=±1也成立，所以本题的正确答案应该是cosα=±64或cosα=±1。

四、 注重挖掘三角形内角范围方面的隐含条件

高中数学三角函数角度通常会和三角形内角联系起来进行考查，而当我们遇到这类题型时，应当注意挖掘题目中的隐含条件，也就是三角形内角和等于180°，三角形任意一个内角都大于0°，且三角形内角中至多只有一个直角或钝角，只有我们将这些隐含的条件都把握住，才能在做这类题时有的放矢，拿到满分。

例4在三角形ABC中，如果sinA=35，且cosB=513，试求cosC的数值。

错解：由于sinA=35，因此可以解出cosA=±45，而结合cosB=513，可以解出

sinB=1213，所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，可得出cosC=5665或cosC=1665。

评析：上述解法由于没有考虑到三角形内角的隐含限制条件，所以才得出两个解，做错的原因主要是没有深入挖掘题目中的隐含条件。由于三角形内角A，B都是锐角，而且AA，所以∠A为锐角，因此cosA=45，那么cosC=1665。

五、 注意挖掘符合函数性质方面的隐含条件

例5已知复合函数y=3sinπ4-3x，试求其单调递增区间。

错解：令u=π4-3x，那么y=3sinu，而函数y=3sinu在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）区间上为单调递增函数，也就是2kπ-π2≤π4-3x≤2kπ+π2，可以解出-2kπ3-π12≤x≤-2kπ3+π4（k∈Z），因此所求复合函数y=3sinπ4-3x的单调递增区间是-2kπ3-π12，-2kπ3+π4（k∈Z）。

解析：在这道题求解中，我们之所以会犯上述解题错误，就是因为没有考虑到复合

函数u=π4-3x是减函数这样的隐含条件，但是y=3sinu在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）区间上却是单调递增函数，从而可以得出y=3sinπ4-3x在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）区间上是单调递减函数。要想让y=3sinπ4-3x=-3sin3x-π4为单调递增函数，那么2kπ+π2≤3x-π4≤2kπ+3π2，可以解出2kπ3+π4≤x≤2kπ3+7π12（k∈Z），也就是复合函数y=3sinπ4-3x的单调递增区间是2kπ3+π4，2kπ3+7π12。

评析：复合函数通常具有一些基本性质：设函数y=f（u），u=g（x），x∈[a，b]，u∈[c，d]均为单调函数，那么y=f（g（x））也为单调函数。如果y=f（x）在定义域[m，n]上为单调递减函数，那么复合函数y=f（g（x））和函数u=g（x）在定义域[a，b]内的单调性相反，也即是“同增异减”。

作者简介：王乙羽，浙江省新昌市，新昌天姥中学。