安徽省芜湖市无为县第二中学 安 英

众所周知，三次函数的导数是不可或缺、耳熟能详的二次函数，因此，以三次函数为载体,用二次函数知识对三次函数的性质做研究的创新试题，背景新颖，综合性强，所以近年来，三次函数图象的对称问题是高考的热点问题，弄清三次函数图象对称中心及相关性质尤为重要。

一、提出问题，从心开始

以三次函数的对称性为背景的创新试题常常出现在各地高考或模拟考试中，考查利用导数研究函数的性质,考查函数与方程思想,考查考生创新能力，考查考生熟练应用所学知识解决问题的能力。

二、探究问题，将心注入

为了解决相关问题，弄清三次函数图象对称中心及相关性质迫在眉睫。让我们探究问题，将心注入。

三、解决问题，用心即好

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）令a=-1，设函数f(x)在处理取得极值，记点证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M,N的公共点。

（1）（2）两问比较简单，（3）问线段MN与曲线f(x)存在异于M,N的公共点，即f(x)对称中心。理解出题者的用意，理解题目的背景，用对称中心的性质解决问题是个好方法，于是从三次函数图象对称中心开始探究。

分析：（1）（2）两问比较简单，（3）问要用对称中心的性质解决。

评注：解答（3）问，用心即好。用对称中心的性质解题就非常自然简洁。掌握了三次函数的对称中心的性质，很多困难的问题就迎刃而解，更有助于我们提高对知识系统性的理解。

四、深入问题，不忘初心

进一步深入问题，不难发现还有很重要、很实用的引理。在解决有关问题时若不忘初心，定能另辟蹊径。

引理：若函数y=f（x）在定义域D上可导，且，则函数y=f（x）的图象关于点的图象关于直线x=a对称。

证明：由函数y=f（x）的图象关于点在 时恒成立，此时两边对x求导，得

分析：f（x）的导函数是二次函数，可用二次函数对称轴来解。亦可利用引理快速解决。

以三次函数的对称性为背景的创新试题常常出现在各地高考或模拟考试中，考查利用导数研究函数的性质,考查函数与方程思想,考查考生创新能力，考查考生熟练应用所学知识解决问题的能力。

数学家华罗庚曾经说过：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。所以不忘初心，从心开始！