四川省贸易学校 史雪梅

分类讨论思想在高中数学解题中的应用可以有效弱化问题难度，对培养学生数学思维具有帮助。高中数学比较抽象，学生理解起来有难度，而在解题教学中应用分类讨论思想，能够为学生提供更为清晰的解题思路，有助于提升解题效率。

一、分类讨论思想概述

1．定义

分类讨论思想又称为“逻辑化分思想”，它是将所有研究的数学对象划分成若干个不同的主体，随后依据多个主体逐一解析与求解的数学思想。分类讨论思想在高考中占据非常重要的地位，相关数学问题具备较强的逻辑性与探究性，难度比较大，涉猎多种数学题型，可以说是无孔不入。

2．意义

基于分类讨论思想的解题指导，学生的解题思维能力将得到全面提升。因为高中数学知识比较抽象，不易理解，解题难度对于学生而言比较大，所以借助分类讨论思想的应用，能够帮助学生准确把握数学关系，对培养学生逻辑思维具有帮助。由此可见，分类讨论思想在数学解题教学中十分关键，教师需要予以重视。

二、分类讨论常见类型

其一，由数学概念引起的分类讨论：部分数学概念自身是分类的，如绝对值、指数函数、直线斜率、对数函数等。

其二，由性质、公式、定理的限制引发的分类讨论：部分数学定理、计算公式、数学性质是分类给出的，在条件不一致的情况下，需要进行分类讨论，如等比数列的前n项和公式、函数单调性等。

其三，由数学计算要求引发的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、指数运算中底数的要求、对数真数与底数的要求、不等式两边同乘以一个正数、复数及三角函数的定义域等。

其四，由图形的变化引起的分类讨论：部分图形的类型、位置等需要进一步分类；角的终边所在象限；点线面的位置关系等。

其五，由参数变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于不同参数值要使用不同的求解或证明方法等。

三、分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用

1．函数方面

将分类讨论思想应用于函数问题中，需要事先对函数中涉及的参数进行分类讨论，在学生能够从多个研究视角解析问题时，再对问题条件进行深度剖析，有效提升解题效率。

例 1 已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R。 当a=3 时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值。0。当-＜x＜ 时，f′（x）=3-3x2=-3（x-1）（x+1）。 当 -1＜x＜1时，f′（x）＞0； 当-＜x＜-1或1＜x＜ 时，f（x）＜0。 所以f（x）的单调递增区间是+∞）；f（x）的单调递减区间是

由区间定义可知，b＞0。（1）若0＜b≤1时，则[0，b]∈[-1，1]，因此函数f（x）在[0，b]上是增函数， ∴当x=b时，f（x）有最大值f（b）=3b-b3。（2）若1上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，并且该极大值就是函数f（x）在区间[0，b]上的最大值。 ∴当x=1时，f（x）有最大值2。f（x）=3x-x3在[0，1]上单调递增，在上单调递减， 因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，在上单调递增，在x=b时，f（x）有最大值f（b）=b3-3b。≤0，（b+1）2（b-2）≤0，b≤ 2。 ∴当时，f（x）取到最大值f（1）=2。②当f（1）＜f（b），解得b＞2，∴当b＞2时，f（x）在x=b时取到最大值f（b）=b3-3b。

综上所述，函数y=f（x）在区间[0，b]上的最大值为

2．数列方面

利用分类讨论思想解决数学数列方面的问题时，需要重点讨论数列周期性问题，逐一求证各项问题。在学生解题遇到困难时，教师需要给予适当的思路引导，使学生巧妙使用分类讨论解题问题，从而不断增强解题能力。

例2 已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n∈N＊，n≤2），若数列{an+1+λan}是等比数列， 已知k为奇数时，求证：

除了上述内容之外，分类讨论思想还可以解答概率、几何等问题，教师需要提高对其的重视，在日常教学中有意识地引导学生使用该方法，配合教师的教育指导，从而不断提升学生的数学解题能力。

[1]徐玲玲．分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究[J]．中华少年，2017（13）：137-138．

[2]沈淼楠．分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J]．课程教育研究，2017（12）：146-147．