浙江省象山县丹城第四小学 金卫东

统计与概率是义务教育阶段教学数学学习的四大内容之一，课程标准指出，学习统计要让学生经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程，帮助学生逐渐建立起数据分析的观念。在这个理念的指引下，老师在统计教学时，都能注重学生对统计图表的分析描述，但对于该怎样正确地描述统计图表，尤其是对折线统计图的描述分析，常常会产生一些习惯性的错误。

近日在听《折线统计图》一课中，又听到了这样的错误：

【教学片段】

教师从某城市的月平均气温条形统计图引入，做简单的介绍，告诉学生除了条形统计图可以表示这座城市的每月平均气温外，我们还有一种新的统计图可以更好地表示出每月平均气温的变化情况。课件演示把条形统计图的每个条形演变成一个点，再把点逐个连接，演变成一幅折线统计图（如图1），带领学生认识折线统计图，并用手势表示这幅折线统计图的折线的起起落落，然后进入描述分析折线统计图的环节。

师：从这幅折线统计图，你能发现这座城市一年里气温变化的特点吗？

生：我发现一年里气温最高的是8月份，最低的是1月份。

生：我发现气温开始是上升的，后来又降低了。

图1

师：那么从几月到几月是上升的，从几月到几月是降低的呢？

生：气温从1月到8月是上升的，从8月到12月份是降低的。

从图上看，先上升后下降的变化非常明显，学生的回答也很符合老师内心所需，于是老师带领全体学生观察哪两个月之间上升最快，哪两个月之间降低最多。学生各抒己见，课堂内交流很积极，学生学得很高兴，但有一个学生盯着大屏幕发愣，迟疑着想要举手，又放下。老师发现了，于是问这名学生：“你有什么想说的吗？”

这位学生站起来说：“我也不知道对不对，就是想问问，刚才老师你说1月到8月气温是上升的，而8月到12月气温又是下降的，那么这个8月份的气温到底是上升了还是下降了？”

下面听课的老师一阵轻微的骚动，上课的老师明显愣了愣。

师：……8月份，在1月份到8月份是呈上升趋势的，……在下半年又是逐渐下降的……

明显这个答案不能很好地给这位学生解惑，于是他又继续追问：“那老师你说8月份到底是上升还是下降？在这个月里面是一会儿上升一会儿下降吗？”

这个问题老师没有很好的准备，打老师一个措手不及，于是老师说：“你这个问题提得很有价值，让老师课后思考再回答你好吗？现在先接着往下学。”

……

【错误分析】

课堂上的“惊险”被暂时存档了。课后，我找来了这个学生和老师。

我问了这个提问的学生：你认为8月份的气温是上升了还是下降了？他说：我也不敢确定，气温上升还是下降不是跟原来的比吗？比前一个月高就是上升，比前一个月低就是下降，可八月份有这么多天，我不能确定。

我又问老师，这位老师说：他的问题是我没有想到的，我在教折线统计图的变化趋势时，一直是从哪里到哪里是上升，从哪里到哪里是下降的，中间的这个月是过渡的。

对于折线统计图的描述分析，绝大多数老师都会像这位老师一样去描述，好像这样已是一种教学习惯。我刚开始教学时听老教师上课就是这样描述的，对于这个学生的疑惑我也一直存在。其实，老师在课堂上的描述是不恰当的，在这幅图中，每个月的气温都是平均气温，一个数值就代表了这个月的整体情况，不存在“8月份有这么多天”的情况。从前半部分看是上升的，后半部分是下降的，8月份在连接的节点上，很容易让人错误地表述为“从1月份到8月份是上升的，从8月份到12月份是下降的”。我非常同意这位学生对上升还是下降的判断，符合本质，事物的升与降就应该是在原有（这题是前一个月的气温）的基础上比较得来的，比原来的多就是上升了，比原来的少就是降低，不存在一会低一会高的含糊不清的描述。这题中，8月气温仅仅是一个点，根本就没有过渡的说法。

【正确处理】

从图中发现，8月份的气温比前一个月（七月）要高，8月份的气温是上升，到了9月份，气温比8月份要低，这样9月份的气温是降低的。讨论后认为描述应是：1月开始到八月份气温逐渐上升，八月份以后（或9月份）气温逐渐下降。这样8月份就不会重复出现，也符合升降比较的本质。循着这个思路，那么1月份不是没有比较吗？1月份为什么说它是升呢？针对这个提问进行了思考，进一步完善，这个城市的月平均气温变化描述为：1月份后到8月份气温逐渐上升，八月份以后（或9月份）气温逐渐下降。

【反思原因】

一、对于比较变化的提问不够严谨

一直以来，多数教师都会这样描述变化趋势，究其原因，除了单纯的从折线看变化而没有思考升降比较的本质外，还有一个原因是教师提问不够严谨。在课堂中，老师提问：“从几月到几月是上升的，从几月到几月是降低？”“哪两个月之间上升最快，哪两个月之间降低最多？”很显然，老师让学生回答的就是月份与月份之间的话题，学生很容易循着老师的思路从图上找答案。

图2

在一次测试卷中就曾碰到：如图2，张叔叔家从（ ）月到（ ）月用电量是上升的，从（ ）月到（ ）月用电量是下降的。处于最高点的四月到底是上升的还是下降的？学生的答案五花八门，有的把四月归到上升的，也有的归到下降的，更多的是把四月放到上升的后一括号，下降的前一括号，两者兼而有之。造成这个折线统计图中会经常碰到的问题，原因是出题老师没有思考何为上升，何为下降，只把折线统计图中的折线当成了图片中的上坡、下坡，四月的用电量当成连接上下坡的山顶了。

在学校，我提出“8月这样描述不当”的观点时，开始曾遭到很多老师的反对，有老师认为“8月”犹如时钟的“0时”，既是前面的结束，又是后面的开始，看着好像正确，但气温的上升变化还是下降变化是由比较得出的，不是简单的连接，这样的描述不符合比较本质。翻看现行教材与配套练习，已经很难看到上述提问方式了，正确的问题是“哪几个月的气温是上升的？哪几个月的气温是下降的？哪个月的气温上升得最快，哪个月的气温上升最慢？”这样的表述就十分科学。

二、没有区别时间段与时间点

时间的描述有两种情况，一种是“一段时间”通俗用“小时”表述，一种是“某一点的时间”，通俗用“时”表述。虽然在多年前的小学教材中已统一表述为“时”，在课堂上不提“小时”了，但不可否认，一段时间与某点的时间是客观存在的。在上面的教学片段中的气温是平均气温存在于各个月份中，已把各月份看成某点时间了，是一个整体，不再思考这个月的天数，就不存在“哪两个月之间”的说法。比如折线统计图中的7月份与8月份之间的连线就仅仅是视觉上的上升下降的连线，在两个月份之间是不存在7.5月或7.6月的。经常碰到的“日期”“星期”“季度”“年份”，还有“第几届”也是某点的时间。如图3，每两天之间是不存在另外的星期几的，提问哪两天之间上升是不合理的。同样，对于上升还是下降，A型水壶在星期二这天的销售情况相比前一天就只能说是下降，不能错误地认为也是上升的。

图3

当然，折线统计图的学习中是有某段时间的变化的，这类题目在学习中也会经常碰到。如图4，甲飞机在第25秒到第30秒是逐渐（ ）。在这题中，第25秒到30秒是一段时间，在第25秒与第30秒之间还有26秒、27秒……况且第25秒与第30秒虽然只有一秒，但它仍可作为某段的时间，在这一秒钟内存在25.1秒、25.2秒、25.22秒……，所以提问飞机“从哪几秒到哪几秒”是上升的，是可行的。而第25秒同时作为时间的连接点出现，可以描述成前一段是下降，接着是上升。

数学是一门语言精炼、推理严谨的科学。课标指出，数学是对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具。小学数学的知识与运动是生活中不可或缺的一部分，同样需要科学严谨的态度去对待。精确的数学语言背后往往隐含着一定的数学道理。多年教学形成的约定俗成的说法可能并不准确，敢于质疑，勤于思考，不仅仅是对学生提出的要求，也是教师提高教学业务的必要途径。

图4