河南省质量工程职业学院基础教学部 赵晓艳

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这是战国时期庄子在他的《天下篇》记载的惠施的一段话。也就是说一尺长的木棒，第一天取去一半，还剩二分之一尺，第二天再在这二分之一尺中取去一半，还剩下四分之一尺……按照这样的方法继续分下去，原来一尺长的木棒会越来越短，但是即使越来越短，也不能把这根木棒减为零。总之，当分割次数越多，木棒就变短，在长度上越来越接近于零。公元3世纪，我国著名数学家刘徽在解读《九章算术》时创立了割圆术，他第一次将极限思想引入数学学习当中。具体的步骤为：将圆进行等分，三等分、六等分、十二等分……一直进行下去，圆被分割得越来越细，圆的内接正多边形的边长就越短，内接正多边形的周长越来越接近于圆的周长，当分割无限细时，正多边形周长就和圆周长之间的误差就越来越小，直至变为零，这时正多边形周长就等于圆周长。正多边形算到了3072边形，由此求出的圆周率为3.1416，这个数据是当时最精确的数据。刘徽的割圆术是人类历史上第一次把极限思想引入到数学学习中，在当时具有划时代的意义，是当时数学界的一个伟大的里程碑。后来我国数学家祖冲之又对圆周率有了更进一步的研究，祖冲之研究出来的成果是当时世界上最早也是最准确的数据，祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位。捷克的著名数学家波尔查诺后来在极限思想启发的基础上，创立了导数的定义，但是他没有能对极限思想进行准确描述。直到19世纪，法国著名数学家柯西以前人的工作经验及成果为基础，对极限的概念以及它的理论进行了较为完整的论述，即：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫作所有其他值的极限值。特别地，当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”柯西将无穷小看作一个变量，且这一变量的极限值是0，这就使得关于对无穷小的“似零非零”的模糊认识进行了澄清。换句话说，就是指变量在变化的过程当中是趋近于零的，但它的值是非零，只是无限地与零接近。 为了将极限概念当中存在的直观痕迹彻底排除，维尔斯特拉斯提出了静态的关于极限的定义，为微积分理论奠定了坚实的基础。所谓an=A的含义就是如果对任何ε＞0，总存在自然数N，使得当n＞N时，不等式|an-A|＜ε恒成立。这个定义就是以不等式为依据，通过N跟ε之间的关系，具体地、定量地对两个“无限过程”之间的相互联系进行了刻画。我们知道这样的定义是相当严格的，能够作为进行科学论证的基础依据，至今仍在数学分析书籍中使用。在这个定义当中，仅仅涉及了数以及数的大小关系，此外，只是给定、存在、任取等词语，已经不再求助于运动的直观，成功摆脱了“趋近”一词。

一、两个特殊极限（以及对两个重要极限的重要补充）

在高等数学学习当中，经常会遇到无穷小量商的问题，很多含有正弦函数等类型，下面我们先介绍两类特殊极限公式，接下来我们给出例子详细做出解答。

二、等价无穷小代换

在对无穷小比无穷小求极限的过程中，可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换，加减时一般不能用等价无穷小替换，求极限时使用等价无穷小的条件：（1）被代换的量，在去极限的时候极限值为0。（2）被代换的量，作为被乘或者被除的元素时，可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0（x0可以是0、∞或是别的什么数)时，函数值f（x）与零无限接近，即f（x）=0，则称f（x）为当x→x0时的无穷小量。等价无穷小替换只是求极限的一种方法，它能配合其他方法，比如无穷小的性质：无穷小和有界函数乘积仍是无穷小，或者上述的两类特殊极限配合一起使用，使求函数极限变得简单可行。下面我们给出几对常用的等价无穷小替换的式子，还有其他类型公式大家自己推导。第一类推导方法就是求 时，求出两个函数商的极限为1，近似相等。第二种解释为用近似计算公式，在此近似计算公式中，令 ， ，即可得到用此变形公式可得到如下解释等价无穷小替换的另一个方法：当 时，常见的几对等价无穷小代换，sinx和x，tanx和x，arcsinx和x，arctanx和x，1-cosx和ln（1+x）和x，ex-1和x，

接下来我们再研究一个例子，函数和上例相同，但是x趋近方式不同，运用的方法也就产生了本质的差别用特殊极限的变形公式求得函数极限）

三、洛必达法则

我们知道，在求极限时，常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限，这些极限有的存在，有的不存在，通常称这类极限为“未定式”。利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的，本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)未定式的极限求法。

若当 时，f(x)、g(x)均趋于0或者，则称相应的极限为型未定式。洛必达法则是解决求解型与型极限的一种有效方法，利用洛必达法则求极限只要注意以下三点：

2.洛必达法则是分子与分母分别求导数，而不是整个分式求导数。

3.使用洛必达法则求得的结果是实数或∞（不论使用了多少次），则原来极限的结果就是这个实数或∞，求解结束；如果最后得到极限不存在（不是∞的情形），则不能断言原来的极限也不存在，应该考虑用其他的方法求解。

注：洛必达法则条件满足，则函数极限一定存在（但方法未必采用洛必达法则）（存在或者 ）。如果洛必达法则条件不满足，并不能说明极限不存在，此时不能用洛必达法则求函数极限，可采用其他方法求出极限。

此篇文章先是介绍了两类特殊极限，然后又给出等价无穷小替换的方法介绍和例题，最后介绍了洛必达法则运用的条件和类型，然后又介绍了几种可化为洛必达法则不定型的几种类型的通常解法，其中包括幂指函数的几种类型和其解法，使我们对极限的几种特殊解法有了更加深刻的认识，具有很大的现实意义。

[1]同济大学数学系．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2011： P138．

[2]伍胜霞．高等数学[M]．北京：北京大学出版社，2011：P86．

[3]刘忠东．高等数学[M]．重庆：重庆大学出版社，2015：P126．

[4]李忠．高等数学[M]．北京：北京大学出版社，2012：P87．

[5]上海大学理学院数学系[M]．上海：上海大学出版社，2006：P87．