合理设计导学案,让中考复习走向高效—中考一轮复习之“图形的变换”设计

2018-02-05江苏省南京市钟英中学210002袁秀

中学数学研究(广东) 2018年2期

江苏省南京市钟英中学(210002) 袁秀

在中考复习过程中,数学教师经常面临这样的困境:要复习的知识点多,资料纷繁,不知如何整合、优化设计,使得中考复习即能起到复习巩固的效果,又能从已有知识中学到新的内容,从而提高中考复习课堂效率.现结合笔者最近开设的中考一轮复习之“5.1图形的变换”的研究课,谈谈优化设计导学案的一些做法与想法,以供大家研讨.

一、案例呈现

【课前热身】

1.下列几何图形中,一定是轴对称图形的有(）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.将左图所示的图案按顺时针方向旋转90◦后可以得到的图案是(）

3.如图,△OAB绕点O逆时针旋转80◦到△OCD的位置,已知∠AOB=45◦,则∠AOD等于(）

A.55◦B.45◦C.40◦D.35◦

(第 3 题)

4.将线段AB向右平移1cm,得到线段A′B′,则对应点

5.如图,菱形 ABCD(图1)与菱形 EFGH(图2)的形状、大小完全相同.

图1

图2

(1)如果图1经过一次平移后得到图2,那么点A、B、C、D对应点分别是____;

(2)如果图1经过一次轴对称后得到图2,那么点A、B、C、D对应点分别是___;

(3)如果图1经过一次旋转后得到图2,那么点A、B、C、D对应点分别是____.

设计说明通过选择、填空的的形式考查了平移、轴对称、旋转的基本概念的知识点,学生课前利用神算子软件独立完成,非满分同学鼓励重做,神算子软件及时分析全班学生掌握情况、每题正确率以及学生错误名单和错误原因,便于课上有针对的讲解错误题目,本环节为学生打开回顾的一扇窗,开阔视野,丰厚沉淀.

【知识回顾】

构建本节知识结构图:

设计说明请学生表述线段AB如何变换到线段AB,通过学生的表述回顾平移、轴对称、旋转的要素以及变换前后图形之间的性质和对应点之间的性质.若一位学生表述不完整再请其他同学帮忙,充分留给学生表述的时间,只有表述清楚变换过程才能帮助学生充分回顾各变换的要素及性质,而且对应点之间的性质要一一板书在黑板上,便于后面完成典型例题.

【典型例题】

例1如图,已知△ABC.

(1)以直线l为对称轴,画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(画图工具不限);

(2)将△A1B1C1向右平移,得到△A2B2C2,其中A2是A的对应点,请画出△A2B2C2(画图工具不限).

思考画图时有什么注意事项?

请学生独立完成例1,利用希沃授课助手及时展示学生的典型错误、典型画法,同学之间相互点评,找出画图不足:○1审题不清,将△ABC向右平移,得到△A2B2C2;○2没有作图痕迹,画对称时没有垂直符号;○3没有下结论.分析画图依据:○1根据全等的性质尺规作图;○2根据对应点之间的关系画图,充分体现了知识回顾的重要性.

例1变式把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是.

图1

图2

请学生审题发现其实就是要探究例1中点B与点B2的关系,根据黑板上板书的平移及轴对称的对应点性质容易想到连接BB2,连接后引导学生大胆猜测BB2被对称轴平分,鼓励学生大胆发言,讲解不同方法:①利用角(对顶角)角(直角)边(轴对称性质对应点连线被对称轴平分及平行线之间的距离相等)证明全等得出结论;②利用平移性质对应点连线平行得出相似,再利用轴对称性质对应点连线被对称轴平分得出BB2被对称轴平分.

设计说明例1的画图是对轴对称、平移性质应用的直接考查,学生可以利用两个性质采用两种方法画图,及时巩固刚刚回顾的知识点.另外例1是将一个图形先沿着一条直线进行轴对称,再沿着直线平移,将一个图形进行了两次变换我们称为复合变换,为下面引导学生探究变式作了很好的铺垫.

例1的变式是引导学生利用轴对称和平移性质探究复合变换后对应点之间的性质,将轴对称和平移两个变换有效整合,,不仅复习巩固了轴对称、平移的性质,还从已有知识中探究了复合变换的性质,使得学生的思维上升一定的高度.

例 2 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90◦,点 D 在 BC 的延长线上,且BD=AB.过点B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.

图

(1)求证:△ABC ～= △BDE;

(2)△BDE可由△ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法).

请学生独立完成,并请学生代表讲解第(2)题尺规作图的依据:对应点到旋转中心的距离相等,由此想到旋转中心在对应点连线的垂直平分线上,所以只要作AB、BD、CE中任意两条线段的垂直平分线即可.

式中：wij为以距离规则定义的空间权重；xj为j区域的变量值。对Gi(d)值进行标准化，若ZGi(d)为正，且统计显著，则属于高值聚集“热点”区，即农村居民点呈现局部的大规模斑块集聚；若ZGi(d)为负，且统计显著，则属于低值聚集“冷点”区，农村居民点斑块规模低值集聚。

思考 (1)你还有其他方法作出旋转中心O吗?

作为数学教师,我们讲解题目时应该多问问学生:你还有其他方法解决这道题吗?帮助学生多角度思考问题,学生思考无果,我提醒道:你看看这个图形跟我们学过的哪个几何图形很像?但又有些缺失呢?你能补全图形并根据它的性质找到旋转中心O吗?有学生讲正方形,请问他由什么条件想到正方形?学生答:∠ABC=90◦且BD=AB.老师给予鼓励,让学生画出正方形,再问:补全正方形后,旋转中心在哪呢?学生答:对角线的交点.此题完美解决,并为解决思考(2)做好铺垫.

(2)△ABC与△BDE的对应线段所在直线的夹角与旋转角有何关系?

学生很快找出对应线段AB与BD、AC与BE、BC与DE所在直线的夹角及旋转角∠AOB都为90◦.例2中对应线段所在直线的夹角与旋转角相等,那么在一般的旋转过程中,这个结论还成立吗?引导学生再一次深层次的思考.

例2变式已知线段AB绕点O旋转后的对应线段是 A′B′,直线 AB、直线A′B′的夹角与 ∠AOA′有何关系?(0 ＜∠AOA′＜180)

学生延长线段AB、线段A′B′交与点M,发现∠AMB′与∠AOA′不相等,我说回头看看刚刚都是90◦的角之间除了相等还有什么关系?学生齐声道:互补.很好,请你们证明,我说.学生合作探究展示:连接OB、OB′,根据旋转的性质易证 ∠OAB ～= △OA′B′(SSS),得出 ∠BAO= ∠A′,又由∠BAO+∠MAO=180◦得∠A′+∠MAO=180◦,根据四边形AOA′M 内角和360◦得出 ∠AMB′+∠AOA′=180◦.我再提问:那这道题的答案是什么呢?学生答道:互补.我问:直线AB、直线A′B′的夹角有几个?有什么关系?学生答:四个,两两相等.我问:那请问这道题的答案是什么呢?学生恍然大悟,齐声答道:相等或互补.

设计说明例2第(2)题的尺规作图是对旋转性质应用的直接考查,学生都利用“对应点到旋转中心的距离相等”作对应点连线的垂直平分线找到旋转中心,及时巩固一开始回顾的知识点.

例2的变式是从例2的特殊到一般,结论是否成立?先猜想再验证,利用已有旋转的性质探究了在旋转过程中对应线段所在直线的夹角与旋转角之间的关系,既巩固已有知识,又学到了新的内容.例2从2012年南京市一道中考题入手,到2016年南京市一道中考题的一个小片断结束,合理优化整合了两道很好的中考题,让学生根据导学案的引领,既巩固掌握了原有知识,又接触了新知识,同时也调动了学生的学习积极性.