浙江省绍兴市高级中学(312000) 曹千秋

1.引言

随着科学技术的发展,在新课改的大背景下,数学教育的面貌正全面改观,信息技术尤其是计算机教学软件的应用,将课程中的知识全面、动态、形象地呈现给学生,信息技术成为教师教学、学生学习数学和解决生活中实际问题的工具,极大地调动了学生探索和实践的主动性和积极性.这其中,几何画板、超级画板、SmartBoard、GeoGbra(简称GGB)等数学演示软件逐渐为广大教师所熟悉并应用于教学之中.

长期以来,国内诸多教师、学者对数学教学软件诉诸了大量精力,如叶中豪、陈殿林等基本实现了绝大多数尺规作图问题在几何画板中的演示,但其过程较复杂,用到了很多高等几何方面的知识,而几何画板中圆锥曲线的作图乃至求作切线仍是一大难题.此外,几何画板仅有“形”的动态变化,对于揭示图形的精微性质仍有较大的缺陷.与之相比,GGB融合了代数和几何两大学科,做到了图形与代数方程的同步变化.例如,可以通过在GGB下方的“指令栏”输入“圆形[<圆心>,<半径>]”,直接画出图形,同时在“代数区”得到该圆的方程;甚至可以用向量运算的方式输入“(A+B+C)/3”来直接显示三角形ABC的重心.除此之外,GGB具有较强的可操作性,可以多种方法做出点、多边形、圆锥曲线和三维立体图形,同时还可以方便地画出垂线、交点、角平分线、切线等辅助线,使教材中难以呈现、原本枯燥繁琐的问题得到生动形象的展示,例如,针对平面解析几何轨迹求解问题,在GGB中打开轨迹跟踪功能,可以创设运动对象轨迹探究的情境,通过直观的观察,为学生猜想、探讨和证明提供帮助.

解析几何作为高中数学教学中的重点和难点,一直都是数学课堂中学生理解的软肋,本文借助GGB动态数学软件,以椭圆教学为例,着重讲解GGB在椭圆教学中的新尝试,旨在丰富教学手段、开拓学生学习视角.

2.用GeoGebra绘制椭圆

教科书中椭圆的定义是:平面内到两定点距离之和为常数(大于两定点间距离)的点的轨迹为椭圆.在实际教学过程中,用黑板、粉笔很难精准实现这一作图过程,而用GGB可以很方便实现.

例1平面直角坐标系中,关于y轴对称的两点F1(5,0),F2(-5,0),点P到两定点距离为15,求P点轨迹.

如图 1所示,在 GGB“指令栏”中根据题目要求输入:椭圆 [<焦点 1>,<焦点 2>,半长轴长],即:椭圆[(5,0),(-5,0),7.5]点击回车,在代数区出现圆锥曲线函数20x2+36y2=1125,绘图区域出现椭圆.

图1 案例1及GGB功能分区

通过以上椭圆定义绘制椭圆,进一步的,我们了解到了椭圆的焦点、顶点等基本概念,那么椭圆的其他定义能否也能通过GGB实现呢?

例2 已知O(-5,0),A(5,0),以O为圆心、半径r=12做圆C,P是圆C上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,点P在圆上运动时,求Q点的轨迹.

分析:GGB软件有“对象轨迹跟踪”功能,可以方便实现动点轨迹的求解;此外,在求解图像交点方面,几何画板等绘图软件显得有些无能为力,需要经过充分计算,容易出错且时效很差,这一难题在GGB面前却非常简单,只需通过一个按钮即可解决.

(2)通过“线段”按钮,绘制线段OP、线段AP,通过“中垂线”按钮绘制线段AP中垂线,点击“交点”按钮,拾取中垂线与OP的交点Q;

3.基于GeoGebra探究椭圆性质

GGB绘图软件带有“滑块”控件,可以实现变量的赋值和调整,且代数与几何绘图结果联动,可以非常直观地展现变量变化引起的图形整体的变动.以例1为例,我们将两焦点横坐标及定点到两焦点的距离之和设置为可变量,即焦点F1(c,0),F2(-c,0),点P到两定点距离之和为2a(c＞0,a＞c),通过改变以上变量值观察椭圆形状的变化,方法如下:

(2)点击 “描点”按钮建立椭圆焦点 F1、F2,在 “代数区”右键单击焦点设置属性,将点定义分别改为F1(c,0),F2(-c,0);

(3)在“指令栏”输入椭圆命令,即“椭圆[F1,F2,a/2]”,点击回车;

(4)通过调整滑动条改变c和a的值观察椭圆形状的变化,如图3所示为变量不同取值下对应的椭圆形状.

图3 椭圆属性探究

在此基础上,通过重新定义变量,我们可以推演出椭圆的各种性质、参量与椭圆形状变化的关系,如:椭圆的对称性、椭圆的准线,椭圆的离心率等.

4.椭圆与直线的关系探究

传统判定椭圆与直线的位置关系(相离、相切、相交)常常将椭圆方程与直线方程联立,消去变量组成一元二次方程进行Δ判定,解题过程繁琐且不易于学生直观理解,而GGB可以通过构建与椭圆外直线平行的椭圆切线,加深学生理解.

分析 题目是求解直线到椭圆上点的距离的最小值,可以转化为求直线l和与l平行的椭圆切线之间的距离,即转化为求解两条平行线之间的距离.

(1)在“指令栏”输入函数“xx/25+yy/9=1”绘制椭圆C,输入函数“4x-5y+40=0”绘制直线l;

(4)点击“线段”按钮,绘制线段BC,显示线段长度为2.34.

图4 案例4绘图过程及结果

另外:例3中,线段l的位置是固定的,如果直线l是经过一固定点的直线,随着直线l的旋转,或者随着直线l上某一定点在特定轨迹上移动,直线l与椭圆间C之间的最小距离是怎样变化的呢?对此,我们可以结合GGB中“滑动条”(例2变式)与例3中“求切线”共同解决,不再赘述.

圆锥曲线是高中数学中的重要内容,是学生学习的难点,传统的一支粉笔、一把直尺很明显不能满足当代教学的要求,梦想通过几张幻灯片苍白地向学生展示几个圆锥曲线图像就能得到教学精髓也有点异想天开.数学教学源自实践,是现实世界的客观反映,充分应用GGB动态教学软件,基于由现实世界抽象出来的圆锥曲线模型拓展教学和学习思维,才能使课堂成为探究式的课堂,学生真正成为课堂的主人.

5.教学启示

在数学教学探究过程中,仅有形的动态变化,而无对应方程与坐标的变化是显然不够的,数形结合是中学数学重要的思想方法,GGB融合了代数与几何两大学科,做到了图形与代数同步变化,完全可以满足数学教学动态演示的需要.

在教师备课、教学环节中,GGB可以生成精确、优美的教学图形并应用于教案与课件中,通过精心构思可以实现各种动画渐变效果(如图3),大量节省上课时间,增加教师教学效率;在学生学习环节中,GGB广泛的兼容性(Windows、IOS、Android系统均可运行)、源代码免费开放性为软件的便携和后续开发提供了可能,这也为学生自主学习、提高思维敏捷度和实际问题的解决创造了可能.随着GGB软件的进一步推广,它将为更多教师带来更优化的课堂,为学生带来更优化的学习效果.不共线,点M在直线AB上,求