广东省广州市第十六中学(510080) 程延清

在多地使用全国卷的背景下,对全国卷试题的研究可以让教师更好的适应教学,提高教学的有效性.全国卷的数学试题题型灵活多变,对知识交汇融合要求更高,往往一个小题可以融合多个基础知识点.对学生数学思维的灵活性和数学基础知识的全面性提出更高的要求,反馈到教学中,促使教师加强对试题的研究,合理的选择教学思路和途径,强化教学思路对学生思维的影响以及教学思路在学生知识迁移中的作用.下面我将通过实际教学案例试验来阐述教学思路对学生数学解题思维以及在数学知识迁移中的影响作用.

一次高三数学月考中,在学生数学学习基础相近的情况下,采用不同教学思路的两个班级的平均分以及达优率等成绩指标出现了分化.对试卷各题得分进行分析,发现在三角函数这道题上两个班的得分率出现了较大差异,下面是两个班级在这道题的得分情况:

三角函数试题满分率10分以上5分以下平均分A班60%64.4%33.3%9.51 B班31.25%31.25%66.7%7.13

从上表可以看出,A班在满分率,10分以上的得分率以及平均分等各项指标皆优于B班.那么,是教学途径和教学思路导致了差异?还是学生学习方法方式导致出现了差异呢?在本次教学试验中,教师在两个班级的教学内容和教学方法上没有太大差异,在三角函数知识的教学上也并不存在差异,两个班级的学生数学学习基础差异也比较小.究其原因,发现教师在对空间几何体外接球知识的教学中,两个班所采用的教学思路是存在差异的,从而导致学生对本题的解题思维产生了不同的影响,在知识迁移上也产生了不同的效果.

下面举例说明,教师在A班与B班两个班级对空间几何体外接球知识上教学思路及处理上的异同:

例 已知在三棱锥P-ABC中,侧棱PB⊥底面ABC,且PB=AB=AC=BC=2,求三棱锥P-ABC外接球的表面积.

此题的解法多样,既可以采用直接寻找球心的方法,也可以采用补形的思想方法,教师在两个班采用了不同的教学思路.

在A班,教师采用了补形的思想方法,由于侧棱PB垂直于底面ABC,底面的三条棱互相不垂直,因此不能补形为正方体或长方体进行解题,但可以补形为圆柱,转化为求圆柱外接球的表面积问题,从而求出其外接球的半径长,进而求出三棱锥P-ABC外接球的表面积.具体解法如下:

解 设底面三角形ABC的外接圆半径为r,三棱锥P-ABC外接球的半径为R,易知,(2R)2=(2r)2+PB2.由于侧棱PB=2,故只需求出底面三角形ABC的外接圆半径为r,即可求出三棱锥P-ABC外接球的半径为R.因为AB=AC=BC=2,所以△ABC是正三角形.由三角函数正弦定理可得:

所以

在B班,教师采用了直接寻找球心的方法,由于解决空间几何体外接球的表面积问题的关键是找出外接球的球心,利用空间中点、线、面的几何关系求出几何体外接球的半径,进而求出外接球的表面积.具体解法如下:

解 设底面三角形ABC的外接圆的圆心为点E,三棱锥P-ABC外接球的球心为点O.因为AB=AC=BC=2,所以△ABC是正三角形.故△ABC外接圆的圆心E也是△ABC的重心.过点A作AF⊥BC,交BC于点

在△AOE中,

所以

纵观两个班级对本问题所采用的教学思路,我们发现,教师在A班采用了补形的思想方法,在解题的过程中发现了圆柱的轴截面对角线与其外接球直径之间的关系,进而成功的解决了此类问题,解题思路颇具一般性,可以推广到侧棱垂直底面的所有三棱锥的外接球问题中去,期间还与三角函数正弦定理的知识进行结合解题,对数学基础知识的融合性更强,提升学生对知识交汇处试题的适应性和反应能力,同时也巩固了数学知识的综合运用能力,有利于学生对不同数学知识与能力的迁移.教师在B班采用了直接寻找空间几何体外接球的球心的方法加以解题,在解题思路的理解上更加形象直观,有利于培养学生在空间几何体中多种知识的熟练度,但操作过程略显繁琐,由于学生作图能力的欠缺,容易造成落实上困难.虽然解题思路的介入比较容易想到,甚至可以说是顺利成章,但在实际操作中教学效果会被折减,而且直接寻找球心的方法解决此类问题不利于推广到更为一般的三棱锥外接球问题中去,学生的解题思维受限,加上对知识的交汇处融合处理不够,直接寻找球心的方法解决此类问题运用的数学基础知识比较单一,对提升学生对知识交汇处试题的适应性和反应能力上有所欠缺.

下面我们来看看这次高三数学月考中的三角函数题,由此分析A班和B班为什么会在本道题上得分率存在差异.

高三数学月考测试中的三角函数题:

例 已知顶点在单位圆上的△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.

(1)求角A的大小;

(2)若b2+c2=4,求△ABC的面积.

解法如下:

所以

对学生错题进行分析发现,大部分学生在解答第一问上都没有问题,主要问题出现在对第二问的处理上,虽然第二问也是一个非常简单的考点,但由于学生对三角函数正弦定理中三角形边角与三角形外接圆半径的关系上的生疏,部分学生出现了知识盲点,导致数学知识间无法进行合理的迁移,从而造成解题上的困难.本文前面提到三棱锥的外接球问题看似与三角函数问题在知识点上存在差异,但是在解决问题的过程中却可以体现出两种知识的交融.教师在A班对三棱锥外接球的教学处理思路帮助学生巩固了三角函数正弦定理的应用,有利于学生在解答本题时知识与能力的迁移,而在B班采用的是单一的立体几何知识的处理方法,对数学知识的交汇处理不够,学生对数学知识的迁移能力偏弱,从而导致本题在两个班得分率上的差异.

在全国卷的背景下,由于从知识点的交汇处出题更有利于试题的区分度,可以有效的甄别学生的数学学习能力,教师也应不断的从教学中进行总结与反思,促进教学相长.在具体的教学中,研究和选择合适的教学思路促进学生数学知识迁移能力的提升.奥苏伯尔认为,知识迁移就是人们已有认知结构对新知识发生影响,由此可见,认知结构是知识和能力迁移的基础所在.因此在教学中,既要关注对学生知识的传授,更要引导学生对以往知识的联系产生联想,建立各种知识的交汇思维体系,引导学生由此及彼,提高数学知识与能力的迁移水平.