牟振华++高淑娟

摘 要：进入高中学习阶段后，相较于初中时候的计算和证明，高中数学更加注重数学的思维应用，加之题干材料较为繁杂、冗长，学生在面对这样的难题往往会容易失分。如果掌握好一定的数学方法，就能够解答相应的题目。在数学试题中，试题的形式往往是由一些简单的内容复合或者经过演化而成的，如果学生能够适当地予以拆分或化简为简单的形式，那么就能正确的解答试题，这种解题的思路就称为转化与化归思想。

关键词：高中数学；转化与化归；应用

转化与化归的思想是数学思想的根本，只有掌握了这种思想，学生才能够从根本上解决数学问题，灵活地运用数学知识，提升自己的数学思维。常用的转化与化归思想有题干材料的等价转化、换元法、函数和方程的思想、数形结合的思想等。本文就下面几种方法为例，阐述转化与化归思想的具体应用。

一、 等价转化思想的应用

等价转化是指将未知的数学难题转化为能够解决的问题，通过转化的过程，将复杂的材料转化为简单的问题，这种思想在历年的考试试题中屡见不鲜，教师应当在日常授课中注重训练学生的这种意识，使其遇到此类问题时能够自然地想到等价转化思想，从而快速、准确地解答试题。

例 若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求1x-1

1y-11z-1的最小值。

解析：解题的关键是合理的变形，即等价转化。

1x-11y-11z-1=1xyz（1-x）（1-y）（1-z）=1xyz（1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz）=1x+1y+1z-1≥331xyz-1=33

xyz-1≥3x+y+z3-1=8。

通过将式子进行等价变化，即先进行通分、再整理公式、最后再拆分。将问题化为求1x+1y+1z-1的最小值，最终能够简单地解决。

二、 换元法思想的应用

换元法也是数学思想中的一项重要组成内容。通过换元方法，学生可以将高次方程化为低次方程、将分式化为整式、将无理式化为有理式等，最终达到由繁入简的目的。

例 求函数y=（4-3sinx）（4-3cosx）的最小值。

解析：我们可以假设t=sinx+cosx，其中t∈[-2，2]，得到y关于t的函数表达式，最终求得它的最小值。

三、 函数与方程思想的应用

函数与方程思想就是根据题干中的材料来构造函数或者方程，对问题进行正确的解答，通过设置未知量来求取未知量。在授课过程中，教师要注重这种思想的传授，让学生能够熟练掌握这种思想进行分析、解题，从而求得正确的答案。

例 设函数f（x）的定义域为R，对于任意的实数α，β，有f（α）+f（β）=2fα+β2fα-β2，且fπ3=12，fπ2=0。求证：f（-x）=f（x）=-f（π-x）。

解析：（1）∵fπ3+fπ3=2fπ3f（0），且fπ3=12，∴f（0）=1。

又f（-x）+f（x）=2f（x）f（0），∴f（-x）=f（x），

∵f（x）+f（π-x）=2fπ2fx-π2，且fπ2=0，∴f（x）=f（-x）=-f（π-x）。

四、 數形结合思想的应用

在高中试题中，有的题干看起来难以理解，但是如果画出它的图形，就会显得较为容易理解，这就是数形结合的思想。数形结合的思想能够将抽象的问题变得更加直观和形象，从而简化计算的过程，使解题方法更加简单、直接。

例 求函数f（x）=2-sinx2+cosx的值域。

解析：函数f（x）=2-sinx2+cosx可视为点（2，2），（-cosx，sinx）两点连线的斜率。点（-cosx，sinx）的轨迹为x2+y2=1。

函数值域即为（2，2）与单位圆x2+y2=1上点连线斜率的范围，过（2，2）且与单位圆相切的斜率存在，我们不妨设为k。

∴切线方程为y-2=k（x-2），即，kx-y-2k+2=0，

∴满足|2-2k|1+k2=1，解之得k=4±73。函数f（x）的值域为4-73，4+73。

总之，广大数学教师应当重视转化与化归思想，帮助学生掌握这种思想，使其能够在解题中熟练运用，最终取得较好的分数。

参考文献：

[1]陈伟兰.议转化与化归思想的几种方法[J].数学学习与研究，2017（7）.

[2]肖春仔.高中数学中转化与化归思想的应用[J].数学学习与研究，2017（10）.

作者简介：牟振华，高淑娟，黑龙江省大兴安岭区，黑龙江省大兴安岭实验中学。endprint