曹景恒��

摘要：函数最值是初等数学的重要内容，求解函数最值的基本方法主要有均值不等式、缩放法、换元法及导数法等，但在具体针对某一函数求解时应结合给定函数的条件进行选择合适的方法。本文试用几种不同的方法求解一个三角函数的最值，并对由此得出的悖论解进行分析。

关键词：函数最值；均值不等式；平方平均数；算术平均数；几何平均数；换元；导数

有这样一个三角函数y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ （φ∈[0，2π]），现用几种不同的方法求解它的最值。

方法1：根据算术平均数不小于几何平均数求解。

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

≥1+sinφcosφ+14sinφcosφ

=1+12sin2φ+18sin2φ

显然，当φ=π4时，sin2φ=1为最大，所以该函数最小值为98+22

方法2：根据平方平均数不小于算术平均数不小于几何平均数求解。

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

≤1+sin2φ+cos2φ2+14·sin2φ+cos2φ2

=98+22

即，該函数最大值为

ymax=98+22

方法3：用换元法求解。

令t=sinφ+cosφ，t∈[-2，2].则sinφcosφ=t2-12。

那么，函数

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

=1+12t+14·t2-12

=18t2+12t+78

这是一条开口向上的抛物线，其对称轴为

t=-b2a=-1214=-2

因此，y关于t的函数在[-2，2]区间是增函数，所以函数的最大值和最小值分别为

ymax=98+22

ymim=98-22

方法4：用导数思维求解。

对该函数

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

求一阶导数，有

y′=12cosφ-12sinφ+14cos2φ-14sin2φ

当

y′=12cosφ-12sinφ+14cos2φ-14sin2φ

=（cosφ-sinφ）12+14（cosφ+sinφ）

=0

即（cosφ-sinφ）=0

亦即

φ=π4或φ=5π4

时，函数y有最值。对函数求二阶导数，有

y″=-12sinφ-12cosφ-12sinφcosφ-12sinφcosφ

=-12（sinφ+cosφ）-sinφcosφ

当φ=π4时，y″=-2+12<0，故此时函数有最大值，即

ymax=98+22

当φ=5π4时，y″=2-12>0，故此时函数有最小值，即

ymin=98-22

综上所述：方法1和方法2均采用均值不等式的思想，然却得出截然不同的悖论结果，说明其中至少有一种方法不严谨甚至有错误；而方法3与方法4的思维方式不同，却达到殊途同归的效果。

现就方法1和方法2出现悖论的原因及各种方法的严谨性作几点分析：

1 均值不等式的应用应该注意各元素的约定条件。把算术平均数缩小为几何平均数求最小值时，各元素都必须不小于零；把几何平均数、算术平均数放大为平方平均数求最大值时，各元素之间没有特别的限制条件。方法1中不能保证sinφ、cosφ必须不小于零，故是一种不正确的求解方法；方法2中的变化过程不等式恒成立而不会滋生歧义，是一种可取的方法，但有局限性。

2 换元法应用时必须注意换元前后函数定义域即自变量取值范围的严密制约关系，换元后的函数定义域决定于换元前的函数定义域。方法3的换元过程是比较严密的，不失是一种好方法。

3 用导数求函数最值是最严密、最通用的方法。在很多情况下，在使用其他方法求解函数最值但不好鉴别结果真伪时，常采用对函数求导数的方法来进行甄别。（指导教师：黄绍书）

作者简介：

曹景恒，贵州省六盘水市，贵州六盘水市第一实验中学2017届高三年级。endprint