张晓勇

【摘要】基于Chebyshev正交多项式的零点，对标准区间[0，1]上的Lagrange插值进行误差估计并给予证明.在此基础上，又对任意区间上的Chebyshev多项式零点插值的误差进行估计.最后，通过实例指出：Chebyshev多项式零点插值能有效避免Runge现象的原因.

【关键词】Chebyshev多项式；零点插值；区间变换；误差估计

【基金项目】2016年河南省安阳学院项目，项目名称：基于容量网络的城市PM2.5点源扩散模式研究（201613504033）.

函数逼近在纯数学、工程与物理学等诸多领域具有广泛的应用，而正交多项式作为函数逼近的重要工具之一，为求解f（x）∈C[a，b]的最佳平方逼近多项式提供了一整套理论与方法[1].常用的正交多项式主要有Legendre多项式、第一类Chebyshev多项式、第二类Chebyshev多项式、Laguerre多項式与Hermite多项式等[2].在Lagrange多项式插值逼近中，利用第一类Chebyshev多项式零点作为插值节点可有效避免Runge现象的出现，但是，由于Chebyshev多项式自身的特征，导致这种方法局限于区间[0，1]，本研究将这种方法在任意区间[a，b]进行推广，并对其截断误差进行估计与证明.

一、Chebyshev正交多项式

（一）正交多项式的定义

从图中，可以看出：利用切比雪夫零点插值可以有效避免龙格现象，保证了拉格朗日插值多项式LC10（x）在整个区间上有效收敛于f（x）.事实上，这里出现龙格现象的原因在于随着自变量x的绝对值不断增大，高次插值的振幅越来越大，而f（x）越来越靠近x轴从而导致出现龙格现象.但是，LC10（x）的插值节点在自变量x变化区间的端点处分布较为密集，故能有效避免龙格现象的出现.

三、总 结

本研究主要……