陆国勤

【摘要】本文是从方程最基本的要素——系数、指数、函数加以观点创新来求得费马方程Xn+yn=Zn（n>2），若要X，Y，Z同为正整数，则只有Xn+0=Zn，则Y=0，故X，Y，Z无同自然数解.

我的新自然数观点——即对应变数，本文简称“变数”，那什么是对应变数？即已知自然数的高指数等式与未知数高指数方程有相同的系数链、相同的幂指数一一对应的自然数与自然数的关系被叫作对应变数，这是什么意思呢？即把一个高指数等式分成三个部分，如，33+4×32+13=26与X3+4×X2+13=Y6，第一部分是所有的系数组成一个整体，叫作系数链，它的系数链为3-4-13-1，第二部分是幂指数，第三部分是它的自然数函数.用“#”表示变数关系，即x#3，Y#2.变数关系是已知等式的自然数与未知自然数方程的数与数之间关系，已知等式把它叫“对应变数等式”，未知数的方程把它叫作“对应变数方程”，对应变数分有理变数与无理变数两种，相同的系数链，相同的幂指数的对应变数是有理变数关系，相同的系数链，不同的幂指数的对应变数为无理变数关系，无理变数并非就是无理数，无理数的幂指数一定是分数，无理变数是不同方程的对应变数的幂指数不同，但它们的幂指数是自然数而非分数.

变数关系的首要条件是系数链相同，系数链不同则变数关系不成立，当函数是分数与小数时，则对应变数关系不成立，这是因为分数使它对应的系数链被改变如，53+3=26 [1]，X3+3=Y6 [2]，若X，Y是分数值，则[2]的系数链被改变，如，X=52，则[2]为53+3×8=8×Y6，其系链为1-24-8，它与[1]对应的系数链完全不同，故其对应变数关系就不成立.若函数是无理数，其对应变数关系同样不成立，因为无理数的本质是无限小数，所以它同样会改变系数链而使变数关系消失.那么对于一个未知数函数又怎样区分无理数与无理变数呢？如，53+3=26 （1），X4+3=Y6 （2），则只需把无理变数向有理变数转化成X433+3=Y6，若自然数X不能使分数指数消失，则该函数是无理数，若自然数X能使分数指数消失，则（2）与（1）的无理变数关系成立.以上说的是从函数的角度出发来判定变数关系是否成立，判定变数关系是否成立，还要先从指数出发，从指数出发又有几种情形.

首先，一次函数无变数关系，如，3a+23=53 （1），3K+X3=Y3 （2），由于方程（2）中的K是独立的一次函数，而一次函数本身可以是任意高指数方程，如，K=p4+e，那么（2）的系数链及指数都被改变，所以它与（1）的变数关系不成立.

二次函数是不确定的变数关系，如，32+24=52 [1]，a2+b4=c2 [2]，由于方程[2]中含独立的二次函数，二次函数有可能使高指数函数消元而产生一次函数解，如[2]中c=a+K代入得b4=2aK+K2，则a为独立的一次函数，a有无限个自然数解.它与[1]的变数关系就消失，故a与3是不确定的变数关系.所以含独立的二次函数的高次幂方程与已知等式是不定性变数关系，表示为a～3，b～2，c～5.

而确定变数关系形成的高指数方程的所有函数最小指数为3.把最小指数为3的方程叫作高指数方程，>3的指数叫高指数.高指数方程的高指数即使部分消元也不可能产生独立的一次函数，如，33+3K32+p×3=e3+f3 （1），a3+3Ka2+pa=b3+C3 （2）.设b=a+t，则（2）为3Ka2+pa=C3+3a2×t+3t2×a+t3，若要a能产生一次函数，则只有K=t，而K，p是系数链，所以K，p，t都是已知数，则C3=fa+g，同样f，g必定是已知数，故a只有唯一的一元恒等式解，所以高指数方程都不可能产生独立的一次函数，故当最小指数是3的高指数方程，就一定能与已知高指数等式建立变数关系.

若已知等式含独立的二次函数，而它对应的无理变数关系仍然成立，如，a2+b2=C2 [1]，X4+Y4=Z4 [2]，這组方程是无理变数关系，虽然[1]是二次函数与[2]不定性变数关系，即a～X2，但是反过来[1]变成a4+b4=C4，则对应变数为a#X成立.

所以确定变数关系第一条件是系数链必须相同.第二条件是所有对应方程的函数的最小指数是3，而对应等式的最小指数为2.第三条件是函数不能是分数，也不能是无理数，如果是无理变数就向有理变数转化，转化时必然产生分数指数，如果函数使分数指数消失，表示无理变数关系成立；若函数无法使分数指数消失，表明函数是无理数，其对应变数关系不成立.

那么对应变数有什么特殊的规律呢？首先要谈谈对应变数的运算规律，不等的两个数也就是实际线段a#b，将它们同乘或同除同一个数是不会改变线段的比例尺，也就是不会改变它们数的一一对应性，若同加或同减同一个数，则线段的比例尺就失去意义，也就是它们数的对应性消失，所以对应变数只有同比运算，而无加减运算.当高指数方程的某一未知数X是1的对应变数时，那么其他未知数与X的指数相同时所产生的对应变数关系同方程时，则这组对应变数就必定相等，这是对应变数的一个基本原理，也是本文是核心之处.其证明为：如，33+t13=a4 （1），Y3+tX3=Z4 （2），则有1#X，同比运算后为3#3X，又3#Y，得3X#Y，即同比运算后的3X只有在方程（2）中与3一一对应，而3是与方程（2）中的Y一一对应，故3X与Y是同一个方程的同一个位置的同一个数，即3X=Y，这就是变数原理，或用代数设Y=3X+P，而3X与3是对应变数，则P=0，故3X=Y.若Y的指数与X的指数不同，就会通过极数来遵守变数原理，那什么是极数呢？

一个高指数方程，如，X3+Y4=Z5若有自然数解，则AX3+AY4=AZ5必定成立，A为任意自然数，则（Xe）3+（Yf）4=（Zg）5必然有无数个自然数解，e，f，g为自然数，所以它们是矩阵同解方程，若e=Xn，则（Xe）（3+n）+（Yf）4=（Zg）5同样一定有无数个超大自然数解，同理，必然有（Xeh）（3+n）+（YJ）4=（ZP）5的无数个超级自然数解的方程，（设Xeh=u）.反过来说，若u（3+n）+（YJ）4=（ZP）5无自然数解，则X3+Y4=Z5也只能无自然数解，所以X3+Y4=Z5与u（3+n）+（YJ）4=（ZP）5必定要同时成立，这两个方程在相同的系数链1-1-1的作用下，并且它们都是高指数方程，产生了对应变数关系，只不过它们是自然数的无理变数关系，把无理变数向有理变数关系为X33+n（3+n）+Y4=Z5 {1}，u（3+n）+（YJ）4=（ZP）5 {2}，在有理变数的作用下X的指数是一个分数指数，它的分数指数33+n可以无限扩张，而X3+Y4=Z5的X是某一自然数而无法无限扩张，那么X33+n必定产生无理数解，而无理数无对应变数解，这同{2}与{1}是对应变数关系互相矛盾，故若要两个自然数方程同时成立，则X=1必定是其中一个解，也只有X=1才能解决这一矛盾，因为1的指数不论分数指数还是自然数指数，将X=1代入方程{1}为13+a4=b5可以为已知等式，那么未知方程X3+Y4=Z5就与这个已知等式建立对应变数关系为133+n（3+n）+a4=b5 {3}，X33+n（3+n）+Y4=Z5 {4}，则可用变数原理求得X的对应变数解方程为X3+（Xa）4=（Xb）5.所以这个已知等式中的1是一个非常特殊的数，1的任何指数都是自然数1，那么这个1的高指数就是一个极数，用[1]表示1的极数，[1]=1，那了极数[1]的对应变数X同样也只能是极数，表示为极数[Ⅹ]，即极数[X]的任何分数指数或者自然数指数都是自然数解，即[X]=X33+n都是自然数值，则极数[X]=e=f=g=….它有无限个不定性自然数解，并且[X]的指数是任意的，它总是与其他函数的指数相同，它必定遵守变数原理.所以1+a4=b5与方程X3+Y4=Z5的本质是极数的对应变数关系，这就产生了高指数方程的对应变数的一个最重要的条件，即对应变数关系若要成立必须要有极数，即X是1的对应变数为[X]#[1]，所以变数原理是极数的条件下才能成立.总之，一个高指数方程若要所有函数都是自然数解，它必定与1的高数的已知等式是对应变数关系.所以用变数原理求得X3+Y4=Z5与13+α4=b5的对应变数的真正意义的解是极数的对应变数解，为[X]#[1]，得a[X]#a，b[X]#b，又Y#a，Z#b，得a[X]#Y，b[X]#Z，又因为a[X]与Y，b[X]与Z同方程，用变数原理得a[X]=Y，b[X]=Z代入原方程得[X]3+{a[X]}4={b[X]}5，而[X]=e=f=g=…代入得原方程为e3+（af）4=（bg）5是原方程的所有对应变数解，这个解的特点是各函数都是已知等式函数的同比，即X=1e，Y=af，Z=bg，而1+a4=b5的矩阵方程为A+Aa4=Ab5得A+（af）4=（bg）5与对应变数解是同一方程，所以高指数的对应变数解又属于矩阵同解方程，同理u（n+3）+（YJ）4=（ZP）5与1+a4=b5的对应变数解属于矩阵同解方程.它的对应变数解为e（n+3）+（fa）4=（gb）5.

那么无理变数呢？如，19×1n+23=33 （1），19X6+Y6=Z6 （2），则极数[X]#1，得2[X]#2，3[X]#3，又2#Y2，3#Z2得2[X]#Y2，3[X]#Z2，而[X]=g=h=…用变数原理得2g=Y2，3h=Z2，又因為g，h为自然数，则Y，Z的自然数为Y=2e，Z=3f，所以无理变数关系产生同样是（1）的同比对应变数解.又因为（2）的对应等式为19×16+a6=b6（3），而16=极数[1]，则用变数原理可求得（3）与（1）是同一等式，而（3）与（2）是矩阵同解等式，则（1）与（2）同样是矩阵同解方程，所以当对应等式是高指数等式时，则其对应的无理变数方程是极数同元解，被改变指数的函数与极数同元与已知等式都要同元，则（2）为X=2m=Y=3p=Z无解，也就是（2）与（1）无对应变数解.若Z的指数是3，则只有X=2n=Y是同元解时，（2）才可以产生自然数解.

若无理变数的对应等式的指数是平方与高指数混合式，如，1+23=32 {1），X3+Y3=Z3 {2），则同样用变数原理可求得{2）为X3+（2e）3=（3f）3，又因为{2）的对应等式为13+a3=b3 {3），由于等式{1）与{3）都含极数[1]，极数[1]使它们互为对应变数，使得{1）对于{3）的无理变数关系都要成立，而23是高指数，则2#a成立，那么3#b32同样成立，所以同样用变数原理求得{3）与{1）是同一等式，同前面一样{2）与{1）的矩阵同解方程成立，则{2）产生的对应的极数同元解为33n+（2e）3=（33n）2.若{1）是完全平方式却又完全不同，如，1+a2=b2 {4），X3+Y3=Z3 {2），同样用变数原理求得{2）的对应变数解为X3+（ae）3=（bf）3，但是它的对应等式是{3），由于{4）都是平方指数，而{3）与{4）都含极数[1]，则使得{4）对于{3）的变数关系都要成立，但{4）都是平方指数，故{3）与{4）不是对应的同一等式，而{3）是{2）的对应变数等式，则{2）对于{4）就没有产生矩阵同解方程，就不会产生极数同元解而只有对应的同比解.若{1）是1+a=b2，则a为一次函数无对应变数解，a与[1]就会相加成同一个数就改变了原系数链，故一次函数的无理变数关系同样不成立.

再来看费马方程Xn+Yn=Zn（n>2）（A），这是一个高指方程，它必然与极数[1]的已知等式形成对应变数关系，而[1]的对应等式一共只有两个，一个为1+23=32，由于这个等式有高指数，产生极数同元解，则（A）的X与Y与Z必定有同元，则方程不成立且与题意不符.另一个为1+a2=b2，[则a=0，b=1]它与方程（A）形成的无理变数关系向有理变数转化时产生了同比解，则（A）为X4+（0e）4=（1f）4，则Y=0，故X，Y，Z无同自然数解.

那么X4+Y4+Z4=P4（B）却被发现有同自然数解呢？哈佛大学发现：15 365 6394+2 682 4404+18 796 7604=20 615 6734是自然数等式，它与费马方程相反，用变数证明为1+e2+f2=g2 （1），X4+Y4+Z4=P4 （2），当它们向有理变数关系时，用变数原理求得同比解为：X4+（eT）4+（fH）4=（gR）4，而Y=2×20×67 061=eT，Z=2×20×469 919=fH，P=3×6 871 891=gR，把e=f=2，g=3代入（1）为1+22+22=32，符合原方程的解.

所以，对应变数的同比解正是线性代数.