吴京洪++孙纪涛

【摘要】本文针对近几年出现的抢红包热潮，运用统计检验分析方法对现实生活中红包和抽奖问题涉及的概率论原理进行研究.针对某金融基金管理公司M采取两种奖金派发模式：一种是抓阄模式，另一种是领奖模式.通过相关数据分析，得出了奖金的分布情况，引出了统计假设检验.建立近似于正态分布的泊松分布模型和两个正态总体的假设检验.

【关键词】风险决策；泊松分布模型；统计检验；期望；假设性检验

【基金项目】国家自然科学基金（11371230）；山东省自然科学基金（ZR2012AM012）.

一、引 言

2014年年初，微信红包横空出世，随后是支付宝红包、腾讯QQ红包等.因此，微信群和QQ群每逢节假日或者聚会活动等，大家争先恐后抢红包，派发红包，特别是在春节等重要的节假日，成为全民参与的游戏，这就是每年春节期间的红包大战.微信红包功能是对现实生活中真实红包的拟物设计，而开发的随机红包又将“抽奖”与“红包”相结合.而红包和抽奖本身就是大家喜闻乐见的游戏玩法，微信红包将其电子化，没有距离和空间的约束，千里之外可以参与游戏，为其广泛性和便捷性带来了坚实的基础.

二、问题的提出

每到年终，许多公司为员工发年终奖的时候选择各种奖金派发模式.这里我们假设选择两种最常见的方式：一种是随机抓阄模式，另一种是领奖模式（30万元）.下面我们对其涉及的概率论、统计分析、假设检验和风险评估等问题进行理论研究.

研究的问题：

问题1 若核心员工A对待风险持中立态度，既不回避风险，也不主动追求风险.不管风险状况如何，预期收益的大小是他们选择资产的唯一标准，这是由于所有相同预期收益的资产将给他们带来同样的效用.我们要用概率论相关知识计算出期望值来判断A员工的决策.

该员工为风险中立者，核心员工A对待风险的态度是中立的，他的选择取决于若采取抓阄方式他所能获得奖金的数学期望与不进行抓阄所获得的30万元奖金的比较.若数学期望高于30万元，员工A将会采取抓阄方式，否则不采取.

问题2 若核心员工B选择抓阄模式，他在箱子中抽奖，在这种情况下他获得的钱数小于等于30的概率是多少（即他承担的风险），运用相关知识判断他获得总奖金的概率分布是什么.

核心员工B采取抓阄方式，他所承担的风险可以理解为抓阄所得的奖金额小于30万的概率，对于他所获得的总獎金的可能取值，首先通过Excel将0.1至10共100个数据列出，应用随机求和函数进行随机抽取其中的6个数并加和的运算.从而得到一组新数据，该数据即为6张奖券的总金额的可能取值.求取总金额的方式可应用MATLAB软件、SPSS软件或Excel，也可以通过C-Free编程得到.对于所求得的表示奖金总金额的新数据，通过Excel生成频率分布直方图，可以清晰直观地看出这组数据的特点及分布情况.对于该员工总金额的概率分布情况，用上述求得的奖券金额的数据，应用MATLAB软件中的画图程序，画出概率分布图，从而可直观地得到该员工所获得的奖金的概率分布情况.

问题3 该公司派出一些员工到哈佛大学金融学进修，用抽样调查来获得数据，运用假设性检验的方法来判断进修的员工业绩是否有显著性提高，并以此次数据假设性检验得到的结果决定是否应该继续派遣员工到哈佛大学金融学进修.

对于员工进修项目能否提高员工业绩以及是否应继续实施的问题.通过数据可知，接受培训的员工的业绩的均值，记为X1；未接受培训的员工的业绩的均值，记为X2.可求接受培训的员工的业绩的方差，记为S21；未接受培训的员工的业绩的方差，记为S22.由其概率分布，在给定的显著性水平下，应用统计假设检验方法得出结论.

三、模型的建立与求解

我们做出如下假设：

（1）抽样调查获取的数据准确且能够对总体做出预测.

（2）一个员工抽取的各种结果相互独立且服从员工一次抽取各种情况概率相等的古典概型.

（3）员工抓阄获得总奖金的概率分布是泊松分布.

统计检验方法概述：以小概率为标准，对总体参数或分布形式所做出假设进行判断.基本思路如下：

（1）提出原假设与备择假设.结合实际问题背景，一般原假设为零假设或无效假设，备择假设为期望出现的结论.再根据备择假设选取单双侧检验.

（2）构造检验统计量.

（3）根据显著性水平确定拒绝域.

（4）计算检验统计量样本观测值.

（5）如果样本观测值落入拒绝域，就拒绝原假设，接受备择假设；反之，则不否定原假设.

适用性条件：样本总体服从正态分布或样本容量较大时，也可能产生两类错误，可以通过增加样本容量，尽量控制两类错误.

Z=X1-X2-（μ1-μ2）S21n+S22m.

（一）针对问题1模型的建立与求解

根据古典概型可以列出员工抓阄获得的总钱数，利用概率论知识求得期望E（X）=∑XiPi=30.3.结论1：E（X）=30.3>30，根据所求得数据，该核心员工抓阄获得的预期收益比确定的领奖方式获得的收益大，他会选择抓阄的方式来确定他获得奖金的多少.

（二）针对问题2模型的建立与求解

收益与风险是相对应的，也就是两者是相伴而生的.正所谓“高风险，高收益；低风险，低收益”.若核心员工B采取抓阄模式会带来两种结果：（1）核心员工B所获得的奖金大于等于确定的奖金；（2）核心员工B获得的收益小于确定的奖金额.第二种情况就是核心员工采取抓阄模式所带来的风险.根据概率求解公式P=具有某种属性特征的个数总体的个数=4797≈0.485.由计算的数据可得核心员工B采取抓阄模式需承担的风险是48.5%.

由于泊松分布P（X=k）=e-λλkk！描述的是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率.对于单位时间内随机事件发生的次数可以由泊松分布来描述.当λ大的时候泊松分布与正态分布接近（见下图）.结论2：由下图可以看出，核心员工采用抓阄模式获得的奖金服从泊松分布.endprint

（三）针对问题3，假设检验和统计推断

假设检验是统计推断的另一重要內容，其目的是比较总体参数之间有无差别.实际中多数情况是用样本数据去推断总体.对于该样本的假设检验，要进行参数假设检验.根据样本数据，对原假设是否成立做出判断.原假设是否成立做出的判断是“小概率原理”，如果在原假设成立前提下，在一次观察中小概率事件发生了，则认为原假设不正确，予以否定；反之，如果小概率事件没有发生，则不否定原假设.由随机抽取的样本数据，利用上述概率分布进行统计检验，应用两正态总体的假设检验得出进修项目是否提高员工业绩.

从上表可以看出未接受培训员工创造平均业绩小于接受培训员工创造平均业绩.μ1：接受培训的员工平均业绩；μ2：未接受培训员工平均业绩；n=4，m=8.

（1）建立原假设和备择假设.H0：μ1≤μ2，H1：μ1>μ2.

（2）构造Z检验统计量Z=（X1-X2）-（μ1-μ2）S21n+S22m.

（3）在显著性水平α=0.05下，根据备择假设，选右侧检验Zα=1.645，拒绝域[1.645，+∞）.

（4）检验统计量的样本观测值Z=X1-X2S21n+S22m=11.112 58.514 057 5≈1.305 1.

（5）Z=1.305 1

结论3：由近似方法得出进修员工平均业绩高于未进修员工平均业绩.由上述统计检验结果，因为样本数据太少，不能认为接受培训员工的平均业绩高于未接受培训员工的平均业绩.

四、结 语

通过理论分析，获得如下结论：

（1）该核心员工抓阄获得的预期收益比确定的领奖方式获得的收益大，他会选择抓阄的方式来确定他获得奖金的多少.

（2）核心员工采用抓阄模式获得的奖金服从泊松分布.

（3）进修员工平均业绩高于未进修员工平均业绩.

因此，在派发红包时，不论是从预期收益还是游戏乐趣，不论是派发红包的人还是抢红包的人都乐于选择随机派发，而不是均等派发.

【参考文献】

[1]吴建国.数学建模案例精编[M].北京：中国水利水电出版社，2005.

[2]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1983.