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基于“理解技术”视角下的教学设计

2018-01-02韩敬

数学教学通讯·初中版 2017年11期
关键词:几何画板数学教学微课

韩敬

[摘 要] 章建跃博士在报告中强调:在教学中,应充分做好“理解数学、理解学生、理解教学、理解技术” 等工作,其中“理解技术”指的是课堂教学应该与信息技术整合. 本文对“线段的垂直平分线(1)”一课进行信息技术教学尝试,通过实践,取得了较好的效果,现呈现教学实录,敬请同仁们指正.

[关键词] 线段的垂直平分线;信息技术;数学教学;几何画板;微课

教学内容说明

本节内容是沪科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第15章第2节第一课时的内容,由于前一节学生已学习了线段垂直平分线的定义,因此本节课的主要内容是线段垂直平分线的作法及其性质的探索.

作图是一种技能,笔者没有采用传统的“教师作图,学生模仿”,而是采用观看微课的方式进行教学. 在探索线段垂直平分线的性质定理中,学生经历了观察、实验、猜想、证明的认知过程,教师利用几何画板动态直观演示,帮助学生提出猜想,激发了证明的欲望,性质的证明渗透了转化思想(即把线段垂直平分线问题转化为三角形全等证明问题).

由于本书将“线段垂直平分线”安排在三角形全等、轴对称(图形)内容之后,在等腰三角形、角平分线之前,因此采用类比全等三角形学习路径(即定义——性质——判定)展开研究,这种研究思路对角平分线等几何内容的研究也有借鉴作用.

教学目标设置

1. 会用尺规作已知线段的垂直平分线,并能说明它的正确性.

2. 掌握线段垂直平分线的性质定理,并会运用.

3. 经历探索、证明线段垂直平分线性质定理的过程,进一步发展学生的空间观念、培养合理推理能力和演绎推理能力,渗透类比、特殊到一般的思想.

4. 在探索中,培养独立思考和合作学习的习惯,培养积极探索、勇于探索的精神,享受获得成功的喜悦.

教学实录

1. 溫故类比

问题1:上一章我们系统地研究了全等三角形,你能总结一下研究的思路是什么吗?

师生活动:教师引导学生回顾研究思路是“定义——性质——判定”.

问题2:类比全等三角形的研究,你认为线段的垂直平分线应该如何研究?

师生互动:从线段垂直平分线的定义入手,研究性质、判定.

设计意图 回忆全等三角形的学习路径,为类比研究学习线段垂直平分线提供了一条研究线索,使学生对学习的进程做到心中有数. 这种先行组织者教学策略能激活认知结构中已经具备的相关观念,使得学生体验到研究结构上的关联性,从而学会类比研究. 这种设计思路的导向性强,能很好地落实“发现和提出问题能力”的培养.

师:上一节课已经学习了线段的垂直平分线的定义,你能说说什么叫线段的垂直平分线吗?

师生互动:学生说定义,教师板书定义,并标示定义中“垂直”“平分”这两个关键词.

师:接下来,应该研究什么问题?

生:线段垂直平分线的性质.

师:很好,在研究线段垂直平分线的性质之前,我们得会画线段的垂直平分线.

设计意图 概念反映的是一类对象在数与形方面内有的、固有的本质属性,它是问题研究的根本,更是研究它衍生出的其他知识的依据. 回忆概念、找关键词既为后面垂直平分线作法的正确性验证做了思路上的铺垫,也为性质定理的证明顺利书写“已知条件内容”埋下了伏笔.

2. 问题探究?摇

问题3:怎样画线段的垂直平分线? 你有哪些办法?

师生互动:学生动手操作,在学生回答基础上,教师板书画法:折纸法、过中点画垂线法.

追问:除了上面的两种方法外,还有什么方法?

生:尺规作图.

师:利用尺规作图如何作?

学生摇头,表示不会.

师生互动:教师播放“尺规作图”的微课视频(微课片段如图1、2、3),学生观看微视频的作图过程,然后学生动手作图,其中一名学生上黑板画图.

设计意图 采用微课视频教学,能吸引学生的注意力,激发学生兴趣,有利于培养学生的观察能力. 作图是一种操作技能,学生可以观看视频模仿操作,因为学生的接受能力有差异,用微课可以重复播放.

问题4:为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线呢?理由是什么呢?(设所作直线CD交AB于点O,如图3所示)

师生互动:教师提醒,遇到困难应回到定义,利用定义中的关键词“垂直”(垂直即要证90°角或邻补角相等)、“平分”(平分即要证线段相等),进而将问题转化成证明OA=OB,∠AOC=∠BOC.

师(追问):如何证两条线段、两个角相等?

生:只要证三角形全等.

师(追问):图中有三角形吗?

生:没有.

师(追问):那怎么办?

生:构造(或画辅助线),可以连接AC,BC,证明△AOC与△BOC全等.

师(追问):具备全等的条件吗?(启发学生从作图中获得“AC=BC”)

生:已知AC=BC,公共边OC,而“OA=OB”是求证的结论,找边不行,只能找这两边的夹角.

师(追问):如何说明∠ACO=∠BCO?

……

师生互动: 教师要求学生先独立思考,再小组交流,小组代表展示成果;教师参与到有困难的小组中,引导再次构造新的一对三角形.

设计意图 证明CD是线段AB的垂直平分线是难点,需要适当引导. 这里采用连续追问,意在启发学生如何去想,怎么想,让学生学会去想. 有了第一次构造全等的经验,故第二次构造全等是让学生自己去完成.

问题5:猜想:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何关系?endprint

师生互动:根据图中的“AC=BC,AD=BD”及“O为线段AB的中点”,引导学生猜想:线段垂直平分线上的点到线段两端点距离的关系,然后让学生在图中除点C,D外,任意找一点,度量一下,观察和猜想是否一致,接着,教师利用几何画板度量功能进行演示,进而确认了猜想的命题.

师:一个命题的真假仅靠实验、猜想是不够的,还要进行严密地推理. 命题证明的一般步骤是什么呢?

生:根据题意画出图形,结合命题的条件和结论,写出已知、求证,最后再证明.

师:很好,请你们在学案上完成这个任务.

师生互动:学生先口述,当形成共识后,教师用PPT呈现:已知如图4,直线MN经过线段AB的中点O,且MN ⊥AB,P是MN上任意一点.

求证:PA=PB. (证明过程略)

师:到这里,可以大声宣布,这个命题是正确的,我们把这个真命题称为线段垂直平分线的性质定理. (板书:线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等)

师生互动:让学生结合图形,尝试规范地表示出性质定理的几何语言. 即如图4,因为MN⊥AB,AO=BO,点P是MN上的任意一点,所以PA=PB.

师:这个定理的条件和结论是什么?有何作用或价值?

师生互动:学生说条件和结论,师生归纳:该性质是用于证明线段相等. 至此,我们证明线段相等又多了一种方法.

师:回顾性质的探索,我们经历了怎样的过程?

生:先从特殊猜想,得到命题,最后证明.

师:这种从“特殊到一般”的探究方法,是研究几何问题的常用方法,这种探究方法在后面的学习还将用到.

设计意图 性质定理的探索,学生经历了观察、度量、实验、猜想、证明,这符合定理教学的一般过程:发现和猜想命题——证明猜想得到定理——明确定理的条件和结论. 这个经历不但使学生体会到知识的形成过程,而且体会了用合情推理提出猜想,用演绎推理证明结论这一个几何研究的基本思考方式. 另外,几何画板的直观演示更增添了猜想的正确度,大大地调动了学生证明的欲望.

3. 解决问题

问题6:你能用今天所学的知识解决问题吗?

师生活动:(1)若点P在线段AB的垂直平分线上,PA+PB=6 cm,则PB=______.

(2)如图5,DE是△ABC边AB的垂直平分线,交AB,BC于D,E,若AC+BC=5,求△AEC的周长.

变式:其他条件不变,对调一个条件与所求的结论,即若△AEC的周长为5,你如何求AC+BC的长?

设计意图 通过由易到难的梯度练习,有效地促进了学生对线段垂直平分线性质的理解和掌握,实现知识向能力的转化. 同时,第(2)题既渗透了整体思想,也有利于培养学生的发散思维和创新思维能力.

4. 归纳总结

问题7:(1)本节课你学到了什么知识和方法?

(2)运用了什么数学思想?

(3)如果将线段垂直平分线的题设与结论互换,这个命题还成立吗?

设计意图 利用框架从知识、方法、数学思想进行梳理,培养学生整理与反思的习惯,建构新的认知结构,形成系统,问题(3)提出了新的问题,将为下节课的学习做好准备.

5. 分层作业

(1)必做题:教科书P130第2题.

(2)选做题:教科书P131第3题.

设计意图 分层作业,使人人都能获得良好的数学教育,不同层次的学生在数学上得到不同的发展. 必做题帮助学生巩固“双基”,选做题是为学有余力的学生设计的,培养他们的综合能力.

教学思考

信息技术辅助教学与数学学科整合已是现代化数学教学方式之一. 利用现代的技术、现代化的教学手段来深化课堂教学改革是必然的趋势,因此,我们不能排斥,也不能盲目地“滥用”. 对于数学学科来说,可选择几何画板和微课等技术来辅导教学,那么在课堂上如何去用?

1. 用在“重、难点”处

信息技术与课程融合无非就是为了优化课堂教学,提高课堂教学效率. 重点、难点是学生建构知识结构的障碍,为了强调重点,突破难点,教师将重难点问题设计成微课的形式展示出来. 而对每一节课来说,都有其教学的重难点,因此在选用技术时,要充分考虑利用技术能否达到突破重难点的目的,否则宁可不用. 在本课中,让学生去探究线段垂直平分线的画法难度很大,即便采用其他的方式来铺垫,也会花费课堂的大量时间,而画图只是一种操作的技能,完全可以采用微课教学来代替传统的“老师讲,学生模仿”的教学方式,这样即使课堂上掌握不了,课后还可以多次观看视频,直至学会为止.

2. 用在“抽象”中

我们知道,数学是研究数量关系和空间形式的科学,数学知识具有高度的抽象性,几何画板能很好地把数和形潜在的关系及其变化动态地显示出来,将抽象的问题直观化. 在探索线段垂直平分线的性质时,利用几何画板的动态演示,学生能直观地发现:垂直平分线上的点到线段两端的距离长度在不断地变化,但相等关系始终是不变的,让学生感悟变化中的不变性,形成直观的猜想,激发学生产生证明的欲望,调动了学生思维的积极性,促进了学生合情推理能力的发展和空间想象力的发展. 比如,在平行四边形的教学中,要弄清楚平行四边形与特殊平行四边形之间的关系,可以借助于几何画板,拖动边或顶点,其之间的关系则一目了然. 通过操作,让学生充分认識到“平行四边形——矩形”“菱形——正方形”的变化过程,直观地展现出它们之间“一般与特殊”的关系,有利于理清性质之间的异同点,更好地理解和运用性质.endprint

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