2017年10月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

求证：S△BP1Q1·S△BP2Q2=S△FA1P1·S△FA2P2．

(北京市陈经纶中学 张留杰 100020)

证明如图，连结CF，

因为A1E1∥A2E2，A1E1=A2E2，

又直径BF⊥A1E1于O1，

所以∠BCA1=∠FCA2，即∠BCP1=∠FCP2，

∠BCA2=∠FCA1，即∠BCP2=∠FCP1．

②

③

因为BF为圆O的直径，所以 ∠BCF=90°，

所以 Rt△BO1Q1～Rt△BCF，

④

⑤

⑥

又A1O1=A2O2，

所以A1O1·A2O2=BO1·BO2．

由③和⑥式得

所以(BP1·O1Q1)·(BP2·O2Q2)

=(A1O1·P1F)·(A2O2·P2F)

即S△BP1Q1·S△BP2Q2=S△FA1P1·S△FA2P2．

2387设a,b,c≥0，a+b+c=6，求证：

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000 )

证明不妨设a≥b≥c≥0，则2≥c≥0，先考虑

(1)

不等式(1)等价于

等价于(t+a)(b2+6)≤(b+t)(a2+6)，

等价于6(a-b)≤ab(a-b)+t(a2-b2)，

等价于[(a+b)2+2ab-12](a-b)≥0，

(2)

因为a+b=6-c≥4，

所以(a+b)2+2ab-12≥42+2ab-12>0，

而a≥b，即(2)成立，也就是(1)成立.

(3)

其中2≥c≥0.

不等式(3)等价于

等价于 10(6-c)2+240

≥(c2+6)(100-36c+3c2)，

等价于c4-12c3+36c2-32c≤0，

等价于c(c-2)2(c-8)≤0，

(4)

注意到2≥c≥0，立即知(4)成立.

从以上证明过程，容易知道：当a,b,c都为2，或者a,b,c中一个为0，另两个为3时，所证不等式取得等号.

2388如图，经过直角梯形ABCD的顶点A作斜腰CD的平行线交下底BC于点M，△DBC的外接圆ω1交直线DM于点D,G，△AMC的外接圆ω2交ω1于点C,F，△BGM的外接圆ω3交ω2于点M,E， 证明：直线BE,CF,DG交于一点，且此点为△AMC的重心.

(河南省辉县市一中 贺基军 453600)

证明依题意，只须证明直线BE,CF,DG分别过△AMC的重心.

(Ⅰ)如图，设直角梯形上底AD的延长线与直线BE交于点H.

因∠AMB=∠DCB=∠DGB=∠MGB，

故圆ω3与直线AM相切于点M，

从而有∠EMA=∠EBM=∠EHA，

由此可知A,E,M,H四点共圆，点H在圆ω2上.

因AH∥MC，故圆内接四边形AMCH为等腰梯形.设它的底边MC和AH的中点分别为P,Q，

设△AMC的中线AP与直线BH的交点为W，

因此W为△AMC的重心，直线BE过点W.

(Ⅱ)在△AMC中，设线段CW的延长线与AM交于点O，并与它的外接圆ω2交于点F′.

作MN⊥AH于点N，则四边形ABMN为矩形，

点O为对角线AM与NB的交点.

因NB=AM=DC，故四边形NBCD为等腰梯形(当N与D重合时该图形为等腰三角形)，它的顶点N,B,C,D共圆，因此点N在圆ω1上.

在圆ω2中，由相交弦定理得

F′O·OC=AO·OM.

因AO·OM=NO·OB，

故F′O·OC=NO·OB，

由此可知F′,B,C,N四点共圆，

点F′在圆ω1上.

这就是说，点F′为圆ω1与ω2的交点，且异于交点C，因此F′,F两点重合，直线CF过点W.

(Ⅲ)因四边形AMCD为平行四边形，故它的对角线MD平分AC，从而可知MD过△AMC的重心W，因此直线DG过点W.