储今雨

(北京师范大学附属中学 100052)

高中遇到的很多解析几何题，特别是一些证明题，给人的感觉总是充满了机缘巧合.通过学习分析探究这些题目，发现所给的条件往往都是一般问题的特殊化处理.一些看似简单的条件，往往都是做了精心的设计.因此在解题过程中，对所给条件内在联系的把握至关重要.

下面以2017年全国高考北京卷理科的第18题为例，对题目条件相关问题进行了探究，以揭示看似简单的条件背后的秘密.

(Ⅰ)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(Ⅱ)求证：A为线段BM的中点．

解(Ⅰ)略.

图1

得4k2x2+(4k-4)x+1=0．

因为点P的坐标为(1,1)，

所以直线OP的方程为y=x，

点A的坐标为(x1,x1)．

故A为线段BM的中点．

分析设直线的方程为y=kx+b(k≠0)，

得k2x2+(2kb-1)x+b2=0．

也就是当点P(1,1)不变时，D换成y轴上除原点外的其他点，结论就不成立了，因此抛物线的方程是由点P(1,1)决定的，这说明D与P之间是有联系的.

探究2过点D作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，点M,N是否会与点P重合呢？

也即直线DP与抛物线C只有一个交点，所以点M,N不会与点P重合.

探究3解决了上述两个问题，对题目条件作进一步分析：直线DP与抛物线C只有一个交点，等价于直线DP是抛物C线的切线.那么能否从切线的角度将点D的范围推广呢？也就是对于抛物线C:y2=2px，过y轴上除原点外的任意一点D作抛物线的切线DP，若其他条件不变，A为线段BM的中点的结论仍成立吗？

分析设D(0,b)，直线l的方程为y=kx+b(k≠0)，

得k2x2+2(kb-p)x+b2=0．

故A为线段BM的中点．

由此可得出：

推广1已知抛物线C:y2=2px，过y轴除原点外的任意一点D作抛物线的切线DP，切……