沈 磊， 王芳贵， 王 茜

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

关于FT-投射与自内射环

沈 磊， 王芳贵*， 王 茜

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

有限投射分解; FT-投射模; fPD(R); 自内射环; 凝聚正则环

自内射环是一类具有重要应用意义的环，学者们用不同的方法来刻画自内射环的性质，参见文献[1-4].文献[5]称R-模M有有限投射分解(finite projective resolution)，简记为M∈FPR(R)，是指若存在正合列

0→Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0,

其中每个Pi是有限生成投射模.若M∈FPR(R)，则M是有限表现模.文献[6]重新定义环R小finitistic维数为

fPD(R)=sup{pdRM|M∈FPR(R)}.

这是对文献[7]定义的小finitistic维数的修正.文献[8]利用有限投射分解的模类引入了FT-内射模和FT-平坦模的概念，研究了相应的同调维数，对环的小finitistic维数给出了一个新的刻画.为了刻画自内射环的同调性质，本文利用有有限投射分解的模类引入了FT-投射模和FT*-内射模的概念，证明了自内射环其实就是FT-投射意义下的半单环.同时还得到了，对自内射环R，有fPD(R)=0.

本文恒设R为有单位元的结合环.如未特别声明，模都是左模，理想都是左理想.凝聚环，自内射环和遗传环等分别指左凝聚环，左自内射环和左遗传环.

1 FT-投射模

例1.11) 若R-模M是有限生成投射模，则M∈FPR(R);

2) 若R是凝聚环，M是有限表现R-模，且pdRMlt;∞，则M∈FPR(R).

显然，投射模，Gorenstein投射模，文献[9-10]中的FP-投射模和文献[11-12]中的P-投射模都是FT-投射模.

命题1.3设P是R-模，则下列各条等价:

1)P是FT-投射模;

2) 对任何满同态g:B→C，若ker(h)∈FPR(R)，则对任何同态f:P→C，存在同态h:P→B，使得f=gh;

3) 若ξ:0→A→B→C→0是正合列，其中A∈FPR(R)，则HomR(P，ξ)也是正合列;

4) 任何形如0→A→B→P→0的正合列分裂，其中A∈FPR(R).

证明1)⟹3)⟹2) 显然;

3)⟹4) 由文献[13]的命题7.24即得;

3)⟹1) 设M∈FPR(R)，E(M)为M的……