吴德军, 宋梦钰

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

在本文中,R表示有单位元的结合环,所有的模都是右R-模,X表示包含所有平坦R-模的类,P(R)表示投射模类,X-Dpd(R)<∞表示环R上的整体X-丁投射维数有限,R-Mod表示R-模范畴.2009年,Ding等[1]引入了一般环上的强Gorenstein平坦模的概念.2010年,Gillespie[2]将强Gorenstein平坦模重新命名为丁投射模并且证明了丁模类和Gorenstein模类具有类似的性质.2010年,Bennis和Ouarghi[3]引入了X-Gorenstein投射模,证明了对X-Gorenstein投射模而言,Gorenstein投射模的一些结论仍然成立. 2013年,Yang等[4]研究了一般环上丁投射模的相关性质.本文在文献[3-4]的基础上引入了X-丁投射模,即如果存在正合列P=∶…→P1→P0→P0→P1→…,其中Pi,Pi是投射模,i∈Z,对于任意R-模F∈X,HomR(-,F)作用在正合列P上保持正合,并且M=Ker(P0→P1),那么称M是X-丁投射模.本文证明了X-丁投射模类是投射可解的并且X-丁投射模保持直和项和直和.进而引入了X-丁投射维数的定义并给出了X-丁投射维数有限的等价刻画以及其他相关性质.证明了若环R的整体X-丁投射维数有限,则(X-DP(R),(X-DP(R))⊥)是完备遗传余挠对.

定义1[4]如果存在正合列P=∶…→P1→P0→P0→P1→…,其中Pi,Pi是投射模,i∈Z,对于任意平坦模F,HomR(-,F)作用在正合列P上保持正合,并且M=Ker(P0→P1),那么称M是丁投射模.在这种情况下,称正合列P为强完全零调复形.

定义2[3]设X是包含所有投射模的R-模类.如果存在正合列

P=∶…→P1→P0→P0→P1→…

其中Pi,Pi是投射模,i∈Z,对于任意R-模P∈X,HomR(-,P)作用在正合列P上保持正合,并且M=Ker(P0→P1),那么称M是X-Gorenstein投射模. 在这种情况下,称正合列P为X-完全零调复形.

引理1[5](Horse Lemma) 设X是R-模类,且X对有限直和封闭.设0→M′→M→M″→0是R-模短正合列并且对于任意R-模Y∈X,HomR(-,Y)作用在短正合列上保持正合.若M′和M″有余真右X-分解,则M也有余真右X-分解.

定义3[6]称R-模类X是投射可解的,若P(R)⊆X,且对任意短正合列0→X′→C→X″→0,其中X″∈X,则X′∈X当且仅当C∈X.

定理1[6](Eilenberg’s swindle)若R-模类X是投射可解的且对可数直和封闭,或是内射可解的且对可数直积封闭,则R-模类X对直和项封闭.

定义4[7]设C是R-模范畴的子范畴.

定义5[7]设A,B是R-模类.若A=⊥B且B=A⊥,则称C=(A,B)是余挠对.

定义7[7]设(A,B)是余挠对.若满足下面等价条件的任意一个:

1) 对任意R-模M,存在正合列0→M→Y→L→0,其中Y∈B,L∈A.

2) 对任意R-模M,存在正合列0→D→C→M→0,其中C∈A,D∈B.则称余挠对(A,B)是完备的.

定义8设X是包含所有平坦模的R-模类.如果存在正合列P=∶…→P1→P0→P0→P1→…,其中Pi,Pi是投射模,i∈Z,对于任意R-模F∈X,HomR(-,F)作用在正合列P上保持正合,并且M=Ker(P0→P1),那么称M是X-丁投射模.在这种情况下,称正合列P为X-强完全零调复形.记X-DP(R)为X-丁投射模类.

定理2设M是右R-模.则下列条件等价:

1)M是X-丁投射模;

2)M满足以下两个条件:

② 存在正合列……