安徽 阮 飞

研究解析几何中直线平行的三个视角

安徽 阮 飞

解析几何中的两直线平行问题是一类既基本而又综合性强的高考热点问题.如果同学们能够做到正确理解概念，弄清相关结论的推导过程、功能及使用条件，就能轻松快速的解决此类问题.本文主要介绍处理此类问题的三个视角，仅供大家参考.

一、利用两条直线的斜率

【例1】如图，已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1gt;0)和E2:y2=2p2x(p2gt;0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．求证：A1B1∥A2B2．

【证明】A1，A2两点在过原点的直线l1上，

可设A1(x1，y1)，A2(mx1，my1)(x1gt;0，mgt;0)，

同理可设B1(x2，y2)，B2(nx2，ny2)(x2gt;0,ngt;0)，

所以kA1B1=kA2B2，即A1B1∥A2B2.

②当x2-x1=0时，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，

故A1B1∥A2B2.

综合①②可知，A1B1∥A2B2.

【评注】对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，即若l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则l1∥l2⟺k1=k2，b1≠b2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在且不重合时，l1与l2平行.此视角思路清晰，关键在斜率是否存在的讨论和点的坐标、斜率的计算.

【变式】若直线x+(2a-1)y-1=0与(2a-2)x-(4a-2)y+3=0平行，则实数a的值为________．

二、利用两条直线的方向向量或法向量

【证明】A1，A2两点在直线l1上，

可设A1(x1，y1)，A2(mx1，my1)(mgt;0)，

同理可设B1(x2，y2)，B2(nx2，ny2)(ngt;0)，且n=λ，

所以A2(λx1，λy1)，B2(λx2，λy2)，

我们把与直线垂直的非零向量叫做直线的法向量，直线的法向量不唯一.直线Ax+By+C=0一定有一个法向量是(A，B)；直线y=kx+b一定有一个法向量是(k，-1).不重合的两条直线平行的充要条件是它们的法向量平行.

向量视角处理解析几何问题往往自然简洁.张奠宙先生说：“我们知道‘点’是不能‘计算’的.但是引入了坐标，并把点看作位置向量，就可以计算了；向量可以和‘数’相乘，两个向量可以加减，以及有数量积等等，引入向量，能够精中求简，‘以简驭繁’……”

【变式】已知直线l1:nx+8y+2=0和直线l2:2x+ny+1=0平行，求n的值.

【解析】(法1)直线l1:nx+8y+2=0，l2:2x+ny+1=0的一个法向量分别是n1=(n，8)，n2=(2，n)，

因为l1∥l2，所以n1∥n2，则n2-16=0，所以n=±4，

当n=4时，直线l1:4x+8y+2=0与直线l2:2x+4y+1=0重合，故n=-4.

当n=4时，直线l1:4x+8y+2=0与直线l2:2x+4y+1=0重合，故n=-4.

三、利用平面几何知识

同理可得曲线E2的极坐标方程：

又A1，A2两点在直线l1上，

可设A1(ρ1，α1)，A2(ρ2，α1)，ρ1=|OA1|，ρ2=|OA2|.

即ρ2=λρ1

所以|OA2|=λ|OA1|，同理可得|OB2|=λ|OB1|，

由平面几何知识易知A1B1∥A2B2．

【评注】引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.证明两直线平行还可以通过证它们同垂直(或同平行)于第三条直线、被第三条直线截得的同位角相等(或内错角相等，或同旁内角互补)等平面几何方法.

解析几何是用代数方法研究几何问题，但解题时不能仅使用代数方法，应重视运用平面几何知识简化和转化题目中的条件，这也是近年高考试题考查的一个方向.

【变式】已知两条曲线E1：x2+y2=1(xgt;0)和E2：x2+y2=4(xgt;0)，过原点O的两条不同直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．求证：A1B1∥A2B2.

【证明】依题意|OA1|=|OB1|=1，|OA2|=|OB2|=2，

在△OA2B2中，由平面几何知识知A1B1∥A2B2．

安徽省太和中学)