河北 田卫东

定义在左，计算在右
——用结论求解几例抛物线的高考试题

河北 田卫东

在历年的全国高考试题中，频繁地考查了与抛物线定义有关的题目，对于其中有些题目的解答，我们往往更侧重运用坐标法解决，因而运算量较大，费时费力，有时效果不佳．笔者经过对抛物线定义的深入分析研究，并参考部分教学资料，得到了关于抛物线的一些重要结论，用这些结论求解与抛物线定义有关的高考题，尤其是选择填空题，则会事半功倍，效果非常好．下面将整理得到的部分结论及相关高考试题的解答过程呈献给各位读者，如有不当之处，还请批评指正．

一、所得常见结论

如图，我们以抛物线y2=2px(pgt;0)为例：设A(x1,y1)，B(x2,y2)为抛物线上的两点，线段AB的中点为M，点A，M，B在准线l上的射影分别为A1，M1，B1，F为抛物线的焦点，直线AB经过点F且倾斜角为θ．

(7)M1F⊥AB．

(9)∠A1FB1=90°，以A1B1为直径的圆与直线AB相切于点F．

(10)设AM1交y轴于点E，BM1交y轴于点N，则A1，E，F及B1，N，F分别三点共线，且AM1⊥A1F，BM1⊥B1F，即四边形EFNM1为矩形．

(11)M1A∥B1F，M1B∥A1F．

(12)以AF，BF为直径的圆与y轴分别相切于点E,N．

(14)AM1平分∠A1AF，BM1平分∠B1BF；A1F平分∠AFO，B1F平分∠BFO．

(15)设MM1交抛物线于点Q，则|M1Q|=|QM|，|AB|=4|FQ|．

(16)设准线l与x轴交于点K，则A，Q，K三点共线，且FK是∠AKB的平分线．

(19)①A，F，B共线；②A，O，B1共线；③BB1∥x轴，若其中任意两个作为条件，则能推出第三个成立．

(20)M1A与M1B是抛物线的切线，或者说以A，B两点为切点的两条切线互相垂直且交点在抛物线的准线上．

二、部分结论的简要证明及解释

∴∠AM1M=∠M1AM，

∵M1M∥A1A，∴∠A1AM1=∠AM1M，

∴∠A1AM1=∠M1AM，

∴△AA1M1≌△AFM1，∴∠AFM1=∠AA1M,

∴M1F⊥AB，即结论(7)成立．

同理可证△BB1M1≌△BFM1，

∴∠B1M1B=∠FM1B，

又∵∠A1M1A=∠FM1A，∴∠AM1B=90°，

∴在Rt△AM1B中，

再结合直线与圆相切的条件，易得结论(8)、(9)．

由△AEA1≌△AEF可得A1E=EF，

而EN∥A1K，OK=OF，∴A1,E,F三点共线，

且AM1⊥A1F，同理可证B1,N,F三点共线,

且BM1⊥B1F，

∴四边形EFNM1为矩形，结……