邵炳衡

摘要：随着新课改的推行，高中数学教学理念、教学内容、教学模式等发生了较大改变。就教学内容来说，在新课改背景下，向量一跃成为高中数学重要教学内容，我们学生都认为向量比较抽象，只要理解就行，不一定要熟练运用，而这与教学目的相违背。另一方面，向量主要用于数学解题，学生受到传统解题思维和方法影响，几乎没有向量解题意识，且运用能力也有待提升。因此，本文以平面几何、解析几何以及三角函数为例，探究了向量在三者中的具体应用，希望能借此启发同学，提高我们向量的解题能力。

关键词：向量 高中数学 解题 应用

因为向量是高考考察的重点内容之一，对学生的掌握程度有较高要求。在平面向量方面，我们不仅要熟知向量的概念、性质、运算法则，还要能理解向量的几何意义，并能将其熟练运用于解题中。而且我们学生还要能将向量用坐标表示，有较强的线性运算能力。另外，当向量与其他知识相结合时，我们要运用向量工具，思考出恰当的解题方法。在空间向量方面，需要我们的空间想象能力达到一定水平，而且能在解题中避开传统方法，找到最恰当的向量方法。实际上，我们应在了解向量教学要求和自身不足的基础上，借助教师和同学的帮助，加强运用练习，努力提高自身的向量解题能力。

一、向量在平面几何解题中的应用

在平面几何中，向量主要用于相关结论的证明，比如平行、共线、垂直等。为了解题，通常需要将已知结论转化为向量，然后再借助运算，完成相关证明。这也就意味着，在解决这类问题时，我们不仅应具备发散性思维和向量解题意识，还应具备较强的向量转化能力和技巧，以及过硬的运算能力。例如，已知ABCD是平行四边形，证明 。

在这道题中，向量已经给出，只需将向量设为a，b等数值，再进行运算即可。也就是说，具体的解题过程应为，设 为a， 为b，那么 a + b， =b-a，则

，所以得证。其实，这道题是根据重要的平面几何结论改编的，解题的方法有很多，但向量法最为简单、快捷，而且通过这道题能促使我们学生理解平面与向量间的联系，认识向量运算与几何间的关联。再比如，证明三角形ABC的三条高交于点O。根据题目可以先假设，AB边的高为CD，AC边的高为BF，BC边的高为AE，而且CD与BF交于点O，所以 。即 ，将上述两式加起来，可以得到 ，也就是说， ，所以AE也过点O，因此三角形ABC三条高过同一点O。这类问题的题目言简意赅，在做的时候，需要我们将其转换为数学语言，然后再用向量进行证明。

二、向量在解析几何解题中的应用

由于解析几何涉及的问题一般有夹角、垂直、共线、轨迹等，所以再用向量解决此类问题时，通常都是将几何问题坐标化、符号化，然后将推理和猜想转化为具体的运算，最后得出结果，或者是从向量的几何意义入手分析，再通过向量方法解决。比如，在抛物线 中，F是其焦点，过F点的直线L与抛物线交于点A和点B，如果直线L的斜率为1，那么 与 的夹角范围是多少。首先，确定点F为（1，0），根据斜率求得直线L为y=x-1，然后设A为 ，B为 ，因为A，B是抛物线和直线L的交点，所以将y=x-1带入抛物线 ，得，

那么有 ，紧接着算

，因为 ，所以可以算出 ，最后可以得出 与 的夹角大小为 。再比如，如果O是平面内一定点，A，B，C同位于平面上，且不共线，存在动点P使得 ，

其中α为零或者正实数，那么证明P的轨迹一定会通过A，B，C组成的三角形的内心。因为 和 分为 和 的同向单位向量，所以根据向量加法的平行四边形法则，可以得到

是和

因此可以得出P的轨迹就是

三、向量在三角函数解题中的应用

普遍来说，学生不喜欢解三角函数题，这是因为三角函数是高中数学重要教学内容，其公式易混淆、难记忆、难运用，所以对我们学生而言，三角函数习题的难度系数相对较高。为了更好、更快地解决三角函数解题，我们可以借助向量工具。比如，在计算 时，如果直接用三角函数公式进行运算，那么难度较大，所以应借助向量进行运算。具体而言，因为题目中相邻角度间相差72度，而这正是正五边形的内角度数，所以可以将这道题放于正五边形中思考。也就是说，先做一个边长为1的正五边形ABCDE，而且要让AB边与x轴的夹角为5度。因为 ，

所以在x轴上的投影也为0。又因为各边表示的向量与x轴上的单位向量的乘积之和就是上述所求结果，所以将x轴上的单位向量统一为 ，而 ，因此

。虽然这种解题方法不易想到，比较难掌握，但只要一掌握，那么此類问题将立刻迎刃而解。

四、结语

研究向量在高中数学解题中的应用，其实就是增强我们数学运算能力，提高几何问题处理能力，发散思维的过程，我们能感受到高中数学知识的运用价值，也有助于提高我们的考试成绩，使高考取得好成绩。然而，我们很难从一两个向量应用例子中，掌握向量的解题技巧，知晓向量的运用原则，所以我们学生应加强这方面习题的练习，积累经验，在解题的时候就会变得很轻松。

参考文献：

[1]李卓洁.关于向量在解决高中数学问题中的应用研究[J].信息化建设，2015，（06）.

（作者单位：项城市第一高级中学）