陈宇佳

【摘要】 本文针对实际生活中的楼房采光问题，结合三角函数和一些几何方法，从理论上简要分析了东西向楼房采光情况与前后楼的楼高、层高、实际间距以及楼房所在地的正午太阳高度等因素的关系。

【关键词】 楼房采光 楼房遮光 东西朝向 太阳高度 太阳直射点

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）10-207-02

一、提出问题

楼房是生活中最常见的建筑。在城市里，无论是我们日常学习的学校、购物的商场、看病的医院等公共建筑，还是我们居住的小区，都是由楼房所构成的。而采光问题是建造楼房或选择住房的重要因素之一。那么，楼房的采光又与哪些因素有关呢？我们又应该怎样通过计算来大致判断楼房是否采光良好呢？在本文中，我们将对东西向楼房的采光问题进行简单的探究。

二、模型假设

1.假设天气为晴天；

2.假设光线不受除楼房外其他遮挡物的遮挡；

3.假设楼房朝向均为东西向；

4.假设楼房每一层的高度相等。

三、符号说明

1.α：太阳高度（°）；

2.H：正午太阳高度（°）；

3.φ：某地区纬度值（北纬：°N；南纬：°S）；

4.δ：太阳直射点纬度值（北纬：°N；南纬：°S）；

5.β：某地区与太阳直射点的纬度差（°）；

6.s：光线的路径（单位：无）；

7.h：楼房总高度（m）；

8.l：楼房影长（m）；

9.L：楼房适宜间距（m）；

10.S：楼房实际间距（m）；

11.n：楼房层数（单位：无）；

12.x：楼房层高（m）；

13.h′：楼房未遮光部分的高度（m）。

四、模型的建立与求解

对于地球上的某个地点，阳光的照射并非是毫无规律可循的。太阳光线的入射方向与地平面之间存在着一个夹角α（0°≤α≤90°）。则这个夹角被称为太阳高度角，通常简称为太阳高度。

因为地球绕太阳作公转运动，身处地球上的我们可以感受到太阳相对于地球的位置变化。当太阳高度α为90°时，太阳位于天顶，此时阳光入射方式可称为直射；当太阳高度α小于90°，而大于0°时，阳光入射方式可称为斜射；而当太阳高度α为0°，太阳与地平线相平。在一日内，太阳位于上中天（即地平高度最高）时，太阳高度α达到最大值，此时通常为地方时12时，因此我们将太阳高度α的最大值称为正午太阳高度H。因为H是α的特殊值，所以0°≤H≤90°。

若某个地点的正午太阳高度H恰好等于90°，则这个地点被称为太阳直射点。由于地球的公转运动，太阳在地球上的直射点的位置不断变化。一年之内，太阳直射点在南北回归线之间往复移动一次。处于两条回归线之间的地区，一年有两次被太阳直射的机会。当太阳直射该地区所在半球的另一半球的回归线时，正午太阳高度H有最小值。而恰好位于赤道上的地区，当太阳直射南北回归线时，H均为最小值。处于南、北回归线上的地区，一年有一次被太阳直射机会，分别是夏至和冬至。而处于回归线之外的地区，在太阳直射本半球回归线时，正午太阳高度H的值最大，直射另一半球回归线时H值最小。

当我们表示某个地点在地球上的位置时，通常用经纬度来表示。而该地区的纬度φ是这一地区与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，φ的数值在0°至90°之间。我国绝大部分地区处于北半球北回归线（23°27′N，为方便计算约等于23.5°N）以北，因此，在下文我们仅探讨北回归线以北地区的情况，其纬度可表示为φ°N（0°≤φ≤23.5°N）.

假设地球上有两点A、B。点B为太阳直射点，纬度为δ°N（或°S），而位于北回归线以北的点A纬度为φ°N。将地球近似地看作一个均匀球体，作横截图。如图1所示，地球的横截面为圆形，设圆心为点O.

若点B位于赤道以北，北回归线以南，则A、B两地的纬度差β=φ-δ；

若点B位于赤道以南，南回归线以北，则A、B两地的纬度差β=φ+δ.

过点B作⊙O的切线BE，则光线s1⊥BE；

又因为OB⊥BE，故光线s1与OB在同一直线上。

过点A做⊙O的切线AF，则OA⊥AF；

光线s2与AF的夹角即为A点的太阳高度H.

由太阳光是平行光线可知，光线s1∥s2，β+∠OAC=180°；

故H=∠OAC-90°=（180°-β）-90°=90°-β.

由以上分析可知，某一地区的正午太阳高度，与该地区的纬度和太阳直射点的纬度有关。

当阳光射向地面时，若光线在运动途中被物体遮挡，则形成投影。为使得楼房采光充足，不被阴影遮挡，两栋楼房的间距应不小于前楼的影长l，但考虑到楼房建造的成本问题，为了充分节省土地资源，两楼间的适宜间距L=l.

假设两栋高度为h的楼房间的间距恰好等于适宜间距L .

如下图2所示，楼高h、适宜间距L与光线s恰好构成一个直角三角形，而光线s与间距L的夹角为正午太阳高度H.

由上式可知，L与tan[ 参 考 文 献 ]成反比，因此当tanH取最小值时，L有最大值。

所以当H值最小时，tanH最小，L最大。

由H=90°-β可知，正午太阳高度H的大小與纬度差β有关，纬度差β增加1°，正午太阳高度角H就减小1°.

太阳直射点的纬度由南北回归线向赤道逐渐递减。

由此可知，

若太阳直射点B位于赤道与北回归线之间，则当点B恰好在赤道上时，β有最大值，且βmax1=φ；

若太阳直射点B位于赤道与南回归线之间，则当点B在南回归线上时，β有最大值，且βmax2=φ+23.5°.

故在冬至日这天，太阳直射南回归线，位于北回归线以北地区的正午太阳高度H有最小值。且H=90°-（φ+23.5°）。

因此，我们在计算楼房最佳间距L时，通常以冬至日这天的数据为准，此时只需知道楼房所在地的纬度便可。

五、总结与反思

本文通过三角函数和一些几何方法，对楼房的采光问题进行探究。这一数学模型可以应用于计算居民楼最佳间距和遮光层数，在采光问题上为购房者提供一些参考。然而，本文所建立的数学模型，仅适用于东西向的楼房，对于南北向楼房的采光情况，还应另当别论。

本文所探究的东西向楼房的采光问题，是在一个理想环境下进行研究的。为了将实际理论更好地应用到实际生活中去，还有待我们对此作更透彻的研究。并且，影响采光因素还有很多，如房间的朝向，采光口（通常为门窗）与房间的面积比，所在城市的天气状况等等。这是一个极具研究价值也很贴合实际的课题，我一定会在以后的学习生活中，运用所学的数学知识，继续对此进行探究。endprint