段启凡，杨 桐



基于二分递推奇异值分解的故障测距研究

段启凡，杨 桐

提出利用二分递推奇异值分解与改进的D型测距算法相结合的故障测距算法，该算法能有效消除谐波的干扰和减弱负荷变化对测距结果的影响。仿真结果表明，基于二者相结合的故障测距方法可以准确计算故障点位置。

故障测距；二分递推SVD；D型测距算法

0 引言

随着电气化铁路运营里程和速度的不断提高，电气化铁路安全运营成为一项重要课题。AT供电方式可将列车和变电所之间的电压提高1倍，在同样牵引功率下网上电流减小，电压损失和功率损失相应减少[1]，因而在我国高速铁路中得到了广泛应用。由于该方式的线路结构复杂，故障排查相对困难，因而研究AT供电方式的故障测距方法，对于故障的查找和排除具有重要意义[2]。

由数学分析可知，故障电压行波中的奇异点坐标对应初始行波到达检测点的时间，进而可以得到故障距离。行波法中的小波变换模极大值可以表征信号的奇异点，故行波法成为故障测距的重要算法[3]。从理论出发，需要针对不同故障状态选择合适的Daubechies小波族的某个特定小波作为分析工具，且小波一旦确定下来，其可检测的奇异性指数也因此固定[4]。但是在实际操作过程中，专家学者仅凭经验选择某个特定小波，则无法避免故障测距产生的误差。SVD奇异值分解理论在奇异点提取和故障诊断领域得到广泛研究[5，6]。文献[7]将SVD和小波变换相结合对机电信号进行正交变换，提取代表运动的最优特征完成对指定对象的控制。文献[8]通过SVD对隐形空间中模式进行线性独立性分析，计算神经元个数。文献[9]利用小波各尺度结果的平方值形成一个能量分布矩阵，通过识别奇异值分解后的第一个奇异值所对应的分量，可以实现对振动系统频率的识别。

行波法中最常用的A型和D型算法的测距精度会受到运营线路长度和实际波速的影响[10]。为减小波速和线路长度对故障测距结果的影响，专家学者做了相应研究。文献[11]利用2种模量的时间延迟区分故障点反射波与对端母线反射波，但该方法易受到地上分量速度变化的影响；文献[12]利用故障点和对端母线反射波极性的不同，区分二者到达检测端的时间，但在一定条件下，母线反射波的极性会发生变化，导致无法准确识别故障点反射波。

本文将奇异值分解与D型测距算法相结合研究AT供电方式的故障测距方法。首先对钢轨与保护线进行等效处理，得到牵引网阻抗计算式，以此搭建等效模型；然后对模型进行仿真，得到行波信号；将其进行凯伦贝尔变换后完成二分递推SVD，利用各分量的振荡位置确定故障初始行波和故障点反射波分别到达检测端的时间；再代入改进的D型算法中，准确计算出故障发生的位置。仿真实验表明，本文提出的将二分递推奇异值与改进的D型测距算法相结合的故障测距方法具有良好的实用性和准确性。

1 AT供电方式的线路阻抗推导

AT供电方式中，保护线是为降低钢轨电位、提供故障电流通路而专门铺设的[13]。由于钢轨与保护线相连，二者具有相同的外电压，因此在计算阻抗时可以将二者等效成一条导线，减少了未知量的个数，为之后的电路建模提供方便。依据Carson理论可知[13]，任何导线-地的单位自阻抗为

导线-地回路间的单位互阻抗为

式中，为单位长自电阻；g为等效大地回线的入地深度；为导线的等效半径；为平行导线的中心距离（由几何均距法算出）。

根据带保护线AT供电系统的实际情况，参照式（1）、式（2），可以推导出接触线与等效导线的互阻抗为

式中，rpt为接触线与等效导线的中心距离。

接触线、钢轨的互阻抗和接触线、保护线的互阻抗分别为

式中，tr1、tr2、tp分别为接触线与平行的钢轨1、钢轨2、保护线的中心距离。

最终可得到等效导线与接触线的互阻抗为

同理，等效导线与正馈线的互阻抗为

式中，rf为钢轨和正馈线互阻抗，fp为正馈线和保护线互阻抗。

接触线、等效导线和正馈线的自阻抗分别为

式中，tf为接触线和正馈线互阻抗，dr、f、t分别为钢轨、正馈线和接触线自阻抗。

根据牵引网线路阻抗的推导，以实际牵引网为例[11]，得出线路阻抗的模型如图1所示。

图1 线路阻抗模型

在考虑自阻抗和互阻抗情况下，求得5×5线路阻抗矩阵，见式（9）。该矩阵的对角线元素分别为上行接触线、上行正馈线、下行接触线、下行正馈线和钢轨保护线的自阻抗；其他位置元素均为互阻抗，第1行和第1列元素分别代表上行接触线、上行正馈线、下行接触线、下行正馈线和等效线路。

电容系数矩阵为

2 二分递推SVD原理的故障测距与应用

2.1 二分递推SVD分解原理

SVD是指：实矩阵∈m×n存在正交矩阵= [1,2,…m]∈m×n和= [1,2,…n]∈n×m，令

=T（11）

成立[14]。其中矩阵= [diag(1,1,…q),]的元素是矩阵中所有的奇异值，其中为零矩阵，= min[,]。正交矩阵和分别为矩阵的左、右奇异向量，也分别是矢量空间的标准正交基底。

图2 二分递推SVD分解过程

这种利用行波信号的迭代过程实现信号的逐次剥离、逐次分析，与小波多分辨率分解相似。该方法得到的分解结果位于不同层次的矢量空间中，且下一层空间的基矢量是根据上一层的近似基矢量获得，实现了对信号逐次剥离的多层次分解。整个分解过程不会产生2个以上的信息分量，计算量较小，计算速度较快。

2.2 二分递推SVD在故障测距数据处理中的应用

采用二分递推SVD算法，可以通过各分量检测出不同奇异性指数的奇异点，而小波变换算法在小波基确定后就不具备该功能[15]。

由二分递推SVD分解算法可以计算得到故障行波的多层分量信号，由振荡位置的坐标换算出行波和反射波到达检测端的时间，其基本步骤如下：

（1）通过仿真，获得一维故障行波信号= [(1),(2),…()]，凯伦贝尔变换解耦线路中的电磁耦合关系，得到0模、模和模分量[16]。利用稳定的模分量构造一个行数为2的Hankel矩阵：

式中，∈2×(N-1)。

将式（12）通过二分递推SVD后可以转化为2个列向量的表示形式，即

式中，u∈2×1；v∈(N-1)×1，= 1,2。

（3）对进行了第次分解的矩阵的首行和除去第一行元素的最后一列构造向量。

由式（15）可知，故障信号被剥离成一系列分量信号[18]。在今后的故障分析中，要研究某个特定分量就相当于在行波信号中用减法进行简单提取，这种减法运算可以保证提取的分量在行波信号中的相位不会发生变化[19]。

（4）利用分量中的振荡信息对故障行波和反射波到达检测端的时间进行准确的提取。

3 D型测距算法的改进与综合应用

3.1 D型测距算法

D型测距算法需要波速和行波波头到达检测点的时间，求解后者必不可少的已知条件是待测线路的实际长度。很多学者为了简化计算将波速设定为光速，将线路实际长度设为水平档距[20]，这些假设都会影响实际故障测距的精度。

波速大小取决于土壤电阻率的分布情况和架空线路参数。由于温度影响，线路的不均匀电晕分布会发生变化进而影响分布电容和分布电感的大小，最终导致传播速度的变化。输电线路的实际线长与环境温度和线路负荷状态有关。文献[21]以一条100 km的线路为例，在综合因素作用下线长的误差可以达到1 km。所以有必要对现有的D型测距法进行改进，推导出一种不受波速和线路长度影响的测距算法。

3.2 改进的D型测距算法

D型测距原理是利用线路产生的初始行波波头到达线路检测点的时间之差来计算故障点距离。如图3所示，初始行波波头在故障两侧线路传播所用时间分别为1和2，由图3可以得到故障距离为[22]

式中，为行波传播速度，为线路全长。

图3 行波折反射示意图

针对现有D型测距算法中的缺陷对其进行改进，得到一种避免波速和线路长度变化对故障测距结果产生干扰的改进算法。

D型测距算法的行波折反射模型如图3所示，设线路总长为，波阻抗为0，过渡电阻为f，行波的传播速度为，故障发生点与测量点右侧距离为图中1、3和2、4分别是故障行波从点第一次和第二次到达点和点所用的时间。在发生远端故障时，对端线路的反射波在点发生折射会先于反射波到达本端，通过凯伦贝尔变换可以判断第二个波的来源与极性[23]。

假设1＜2，即点靠近侧，此时3是故障点反射波到达侧所用时间，4为故障点折射波到达侧所用时间。根据图3建立方程组：

解方程组得到

当1＞2时，即点靠近侧，此时3是故障点折射波到达侧所用时间，4为故障点反射波到达侧所用时间。根据图3再建立方程组：

解方程组得到

由式（18）和式（20）可知，改进算法只需要初始行波和反射波到达两侧所用时间和线路总长，就可计算出故障距离；和同时出现在等式两侧，消除了线路下垂或环境因素导致的实际长度不等于水平档距时对故障测距精度的影响。而且式（18）和式（20）中不涉及行波传播速度的计算，消除了波速变化对故障测距精度的影响。为进一步消除谐波的干扰和减弱负荷变化对故障测距结果的影响，依据工频周期的采样点数，采用在点左右两侧选取电流行波的差值进行计算，即

采样的电流数据误差在第一次相减时已经产生，2个采样误差再进行一次相减即可以将整体数据误差抵消。这种改进的D型测距算法具有更高的精确度。

3.3 2种测距算法的综合应用

二分递推SVD与改进D型测距算法的综合流程如图4所示。首先将原始数据进行凯伦贝尔变换，将变换得到的模分量放入矩阵中，参照第2.2节中的数据处理过程，通过矩阵中振荡信息的位置确定折反射波到达检测端的时间，判断第二个到达的行波和原始行波极性，以此代入相应的改进D型测距算法的计算式中，求出故障点位置。

图4 综合流程

4 仿真实验

基于图1所示的线路阻抗图，可以得到AT供电牵引网的仿真模型，如图5所示。用Matlab进行故障仿真，主要参数：系统电源220 kV；系统阻抗0.5+j4.71 Ω；AT1与VX-T段和AT1与AT2距离各为20 km；牵引变压器容量为8.5 MV·A[24]。

设在距离故障端点15 km处发生接触线-钢轨的接地短路故障，过渡电阻为10W，采样频率为1 MHz。将故障电流行波通过第2.2节的数据处理过程得到图6。

图5 仿真系统模型

图6 二分递推SVD分解的分量信号波形

由图6可以看出，各个分量中产生了若干振荡波形，这些振荡波形在每个子图中都有体现。显然，对应这些振荡的不是白噪声，因为白噪声不会如此有规律地出现在各个分量的对应位置，因而这些振荡波形的中心点反映的是故障行波中若干奇异点的位置[25]。

为了检验二分递推SVD在查找奇异点方面的性能，本文选用以往文献常用的对称三次B样条小波进行小波变换，选取第2层小波细节分量进行奇异点的查找，对比结果如表1所示。

从表1可以看出，故障点设置在35 km处及以后，常用的三次B样条小波发挥了紧支撑、对称和线性相移的优势，识别奇异点的可靠性高于二分递推SVD；但是采用二分递推SVD在判断故障距离时只与实际故障位置相差约0.02 km，最大相差0.68 km，采用小波变换故障测距产生的误差一般都大于采用二分递推SVD时的故障测距误差。

表1 二分递推SVD与小波变换对比

当线路实际长度发生变化或波速设定为光速时，将改进的D型算法与一般D型算法进行对比，对比结果见表2。

由于工程上通常根据不同输电线路的电压等级选择一个接近光速的近似值来表示波速，波速的取值范围一般在0.936（110 kV）～0.987（500 kV），所以本文选取波速误差为-1%和-2%进行对比。同理线路长度的误差依据工程经验设定为1%和-1%。

在实际仿真过程中，以线路长度误差1%为例，设定波速为光速，分别对比2种算法求解出的故障距离误差。同理，设置波速误差后，规定线路长度即为水平档距，对比2种算法的故障距离误差。

由表2可知，线路实际长度和波速的变化对改进算法的计算误差没有太大影响，但对于一般D型算法，这2个参数的微小变化对最后的故障测距误差产生了很大影响。所以，在相同条件下，改进的D型算法比一般D型算法具有更高的精度。

表2 波速与线路长度对故障测距误差的影响分析 km

针对AT供电方式下的故障测距，“AT中性点吸上电流比”、“横联线电流比”等方法基本适合工程需要，但测距结果会受到过渡电阻的影响。

本文基于设置不同的过渡电阻和故障距离，应用二分递推SVD与改进D型算法相结合的综合算法，得到如表3所示的故障测距仿真结果。可以看出，在不同过渡电阻和故障距离的情况下，改进的D型测距算法与二分递推SVD相结合的方法使仿真结果具有很高的精度。在同一故障距离处，经过不同的过渡电阻，计算结果完全一致，说明本文提出的这种二分递推SVD与改进的D型测距算法相结合的故障测距方法不受过渡电阻的影响。

表3 综合算法的仿真测距结果 km

5 结论

（1）本文通过凯伦贝尔变换将故障电流行波信号转化为3个分量信号，选取其中的模分量构造Hankel矩阵，利用二分递推SVD找到信号的奇异点。在寻找奇异点过程中，与小波变换相似，振荡波形的中心点对应奇异点的位置。

（2）提出一种不受波速和线路长度影响的改进D型测距算法，利用行波突变量消除负荷变化对故障测距结果的影响；通过时间之比和线路长度的乘积准确找到故障点位置。与一般D型测距算法相比，改进算法消除了波速误差造成的测距误差，且不受线路长度变化的干扰，具有更高的精度。

（3）将二分递推SVD与改进的D型测距算法相结合的综合故障测距算法不受过渡电阻的影响，具有较强的抗干扰性。

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The fault location algorithm combined with D type ranging algorithm and dichotomizing recursion singular value decomposition is proposed. The algorithm is able to eliminate effectively the harmonic interference and side effects to the distance measurement due to variations of loads. The simulation results show that the fault location method is able to calculate the faulty point accurately.

Fault location; dichotomizing recursion singular value decomposition (SVD); D-type ranging algorithm

10.19587/j.cnki.1007-936x.2017.05.010

U226.5

A

1007-936X(2017)05-0039-07

段启凡.中国铁路设计集团有限公司，助理工程师；杨 桐.国网青海省电力公司经济技术研究院，工程师。

2016-12-09