关于函数项级数一致收敛性的研究

2017-11-01李海燕

宿州教育学院学报 2017年5期

关键词：数集阳泉收敛性

李海燕

（阳泉师范高等专科学校山西·阳泉 045200）

关于函数项级数一致收敛性的研究

李海燕

（阳泉师范高等专科学校山西·阳泉 045200）

函数项级数是对初等函数进行表达的一种工具，级数的和也就是该函数的核心问题，被称为收敛性，包含收敛与一致收敛。本文以函数项级数一致收敛性预备知识入手，探究其判别方法，并着手于其推广定义的研究。并利用MATLAB软件,结合当代应用实例对函数项级数一致收敛性进行实验与编程，对函数序列收敛性的动态过程进行探讨，表明出一致收敛性的实质。

函数项级数；一致收敛性；MATLAB软件；研究

初等函数是高等数学中主要讨论内容之一，且初等函数可针对众多自然现象以及相关技术的规律进行解答。但初等函数并不能满足客观规律所需求的定义与本质，因此只有初等函数知识无法广泛应用于科学技术以及相关理论之中，而级数是表示初等函数本质的一种重要工具。为了有效解决这一问题，众多学者利用微分、极限、积分等科学知识表达初等函数之外的内容，本文针对函数项级数一致收敛性的研究，为使函数的运用能够更加方便，从而得到更为广泛的应用。

一、函数项级数一致收敛性预备知识

为了保障函数项级数一致收敛性判定的顺利进行，同时得到MATLAB软件编程应用的方法与程序，对其预备知识的探讨与制定是十分必要的。

理论5：如果函数项级数在区间中与理论4中所提到的公共函数不符合或不存在，那么收敛性则为非一致收敛性，相反则为一致收敛性。当函数项级数一致收敛时，在区间I中将满足、、对于时，函数。而当函数项级数为非一致收敛性时，符合条件为，此时对，，此时，函数需要满足大于等于的条件。

此外，函数项级数收敛的概念需要更加明确，通常情况下，对于同一个数集N来说，当x0不同时，N通常也不同，不仅与有着明确的关系，还与x0有着紧密的联系。因此，函数项级数一致收敛的原则与数集D中内容适应的N。与连续函数树立一致收敛性与收敛的概念有着紧密的联系。以此可通过函数一致收敛的相关定理，可推算出函数项级数收敛的相关定理。此外，还可以根据函数项级数的特征进行辨别。

二、函数项级数一致收敛性的判别方法

（一）比式判别法

根据比式判别法的证明内容，我们可知比式判别法重点在于比较，利用两个函数项级数通项结构进行比较，较适用于函数正项级数收敛性的判断。此外，比式判别法为函数项级数一致收敛性提供了较为简单的判别方法，只需将所要判断的函数与已知收敛性函数进行比较便可证明函数项级数是否一致收敛。通常将等比级数、调和级数等相关级数作为比较，因此比式判别法的关键在于选取比较的对象，以此对通项进行调整。

（二）根值判别法

（三）对数判别法

三、函数项级数一致收敛性推广定义

（一）函数项级数一致收敛定义推广

函数项级数中的函数列如果在所设数集上出现收敛性函数，则称函数项级数在数集上一直收敛。且由于函数项级数一致收敛性取决于其内部部分及相关数列，因此可根据函数一致收敛性的相关定义得到等价函数定义。此外，函数项级数中的部分以及函数列处于同一数集之中，如果对于任意正数总存在着正整数，则称函数项级数在数集中一致收敛。根据上述内容可知，如果要证明函数项级数在数集中一直收敛，找寻正整数是关键点，与数列极限中找寻正整数的问题较为相似，由此可针对此定理进行深入推广，并得到实用性较强的方法。

（二）判别法的推广

根据上述内容，可知对函数项级数一致收敛性的判定主要有比式、对数、根值三种判别法，而三种方法在判别的过程中需要分类进行，探寻其中注意事项，例如比式判别法的实质在于比较两个函数之间项级数一致收敛归零的速度快慢，并通过快慢的差别判断出较快的函数项级数一致收敛。此外，根据对数判别法法可知函数项级数一致收敛与该项级数中涵盖的前有限项无关，在证明过后，亦需利用反证法验证证明结果，如果函数在数集区间中一致收敛，则对数判别法中函数亦呈现出一致收敛，最终查看所得结果与已知是否矛盾。

四、MATLAB编程应用与实现

（一）编程实现必要条件

利用MATLAB实验程序进行分析，易了解函数序列在无穷区间中收敛于函数，如果函数项级数在无穷区间中不一致收敛，根据比式判定法，只需对函数序列在无穷区间中不一致收敛进行检验。

（二）编程实现界限原理

函数项级数具有一个充分必要条件，为此利用MATLAB编程验证函数项级数一致收敛性及非一致收敛性具体需要五个步骤。首先利用MATLAB软件对任意函数项级数中s(x)与sn(x)进行计算，然后选取充分小的正数，画出相关函数的图像。随即对n值进行不断提高，并根据n值的变化画出相应图像。当n提升到足够大的数值时，如果sn(x)的图像皆落在曲线形成的带状区域中，则可对函数项级数一致收敛性进行猜测。