谢晋

摘要：随着全球经济的发展，计算机的迅速发展，利用计算机去解决数学问题再用数学去解决实际问题显得尤为重要，而数学建模就是利用计算机与数学解决实际问题。本文从四个方面论述了现代数学应用中数学建模的重要性，详细阐述了数学建模在生活中的应用和怎样在学校教育中开展数学建模的教学这两个问题。通过对四个方面即概念、重要性、应用、养数学建模的能力的深刻论述得出结论，数学建模是架于数学理论和生活实际之间的一个桥梁，让人们看到了数学建模的价值，体会到数学建模的教学在现代教育中的重要地位和作用。

关键词：数学建模；综合素质；教学；数学应用

（一）数学建模的概念

数学建模非常广泛、简单，它一直与生活、学习息息相关。例如，在学习中学数学的课程时，根据应用题的已知量列出的数学等式就是最简单的数学模型，对方程进行求解的过程就是在进行简单的数学建模。数学建模就是应用数学模型来解决各种实际问题的方法。也就是通过对实际问题的抽象、简化、确定变量和参数、并应用某些“规律”建立变量，参数间的确定性的数学问题（也可称为一个数学模型）求解数学问题，解释验证所得到的解，从而确定能否应用于解决实际问题的多次循环，不断深化结果。它是用数学方法解决各种实际问题的桥梁。

（二）数学建模的思想内涵

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“处理”现实问题的一种有效的数学手段。而通过对实际问题建立数学形式的模型。求解检验体问题获得解决的方法称为数学建模方法。数学建模是一个系统的过程，进行数学建模活动的过程中需要利用各种技巧、技能的及分析、综合等认知活动。综合分析，运用数学建模解决实际问题必须先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，之后再把数学模型纳入知识系统去处理。

（三）数学建模的流程

这里所说的建模步骤只是大体上的规范，实际操作中应针对具体问题作具体分析，灵活运用。数学建模的一般步骤如下：

1.准备模型。熟悉实际问题，了解与问题有关的背景知识，明确建模的目的。

2.建立模型。分析处理已有的数据、资料，用精确的数学语言找出必要的假设；利用适当的数学工具描述有关变量和元素的关系，并建立相应的数学模型（如方程、不等式、表格、图形、函数、逻辑运算式、数值计算式）。在建模时，尽量采用简单的数学工具，以使模型得到更广泛的应用与推广。

3.求解模型。利用数学工具，对模型进行求解，包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、性质讨论等。对模型求解的结果进行分析，根据实际问题的性质分析各变量之问的依赖关系，有时需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、控制等。

4.检验模型。把模型分析的结果返回到实际应用中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性，即验证模型的正确性。通常，一个成功的模型不仅能够解释已知现象，而且还能预言一些未知现象。

如果检验结果与实际不符或部分不符，而且求解过程没有错误，那么问题一般出在模型假设上，此时应该修改或补充假设。如果检验结果与实际相符，并满足问题所要求的精度，则认为模型可用，便可进行模型应用与推广。

二、数学建模活动的重要性和可行性

（一）数学建模的重要性

数学的应用实际上是数学和研究的实际问题相结合的结果。一个成功的数学应用的成果往往会使人们对所研究问题的认识达到更深入的层次，这是当使用自然语言来描述一个现象是很难做到的。数学是各学科可以共同使用的一种科学语言，有它自己的理论体系，而实际问题则各自显示自己的特征和要求。一个成功的应用必须把两者沟通建立它们之间的紧密联系，数学模型就是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。通过数学模型的组建把数学的语言引到实际问题，而实际问题的对模型的分析的特殊要求，又往往对数学理论提出新的挑战。实践证明，要想使数学应用成功，将有赖于应用者深厚的数学基础和他的严格的逻辑推理的训练。但仅仅如此是不够的，还要依赖于他的敏锐的眼光，分析归纳的能力以及对实际问题的深入理解和广博的知识面。也就是说，数学理论主要着眼于内部的理论结构和它们之间的逻辑联系，并没有着意于讨论如何从实际问题中提出数学问题以及如何应用数学来解决实际问题方面的内容。作为一个应用者，更想使自己的应用工作得到成功，仅仅掌握数学理论的内容和训练是远远不够的，他必须具备应用数学知识解决实际问题的能力，必须经受更全面的训练。

在信息的时代，数学将扮演一个十分重要的角色，一个人数学素质的高低将作为衡量他的能力的重要因素。数学建模的学习和实践对于提高学生数学素质有着积极重要的作用。首先，数学知识的真正掌握不是教出来的，而是学生自己做出来的，数学建模正是一个学数学、做数学、用数学的过程，它体现了学与用的统一。

其次，受应试教育的影响，中学数学教学往往只是在纯数学推理圈内活动，而将数学的源头和去向都弃之不顾，从而造成许多学生感到学习数学没有什么用处，纯粹是符号游戏，是为升学而学。数学给学生的印象似乎是：代数繁，几何难。数学建模活动的开展能让学生充分体会到数学的应用，体会到数学来源于现实世界，数学的生命力就在于它能有效地解决现实世界向人们提出的各种问题。

（二）数学建模的可行性

马克思曾说过：“一种科学只有在成功地应用到数学时，才算达到真正完美的地步。”高等數学教学与数学建模思想的适宜的相互结合的目的在于培养学生理论联系实际的能力及创新的能力。因此，在高等数学教学中，通过引人建模的方法和思维，重点培育学生的实践能力，以案例分析为重点，以“题”为中心的组织基础知识讲授，来充分发挥学生的积极性和自主性，以“用”为标准，取舍教学内容以“练”为手段选择灵活多样的教学方法，讲解难点，突出重点，精讲多练，让学生在“炼”中发现自己的知识缺陷，激发他们的求知欲，从而达到培养学生数学能力的目的。

三、数学建模在生活各个方面的应用分析

随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代人的生产、工作和社会活动中。电气工程师必须要建立所要控制的生产过程的数学模型，同时这个模型对控制装置做出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制。气象工作着为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站，气象卫星汇集的气压，雨量，风速等资料建立的数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的模型，就可以分析药物的疗效，有效的指导临床用药。城市规划者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型为领导层次对城市发展规划的决策提供科学依据。厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本，贮存费用等信息筹划出一个合理的安排生产和销售的数学模型，一定可以获得更大的经济效益。就是日常生活如访友采购当中，人们也会谈论找一个数学模型，优化一下出行路线，对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。

数学建模据建模的方式和应用领域的不同可以用许多种分类。日常生活即应用领域模型大概可以分为经济与管理、社会与文化、工业与科技、人口与交通、生态与环境、体育生理与医疗等几类。

（一）最优化应用

最优化应用题包括工农业生产、日常生活、试验、销售、投资、比赛等方面，分最值问题、方案优化的选择、试验方案的制定等类型。对于最值问题，一般建立函数模型，利用函数的知识转化为求函数的最值；而对于方案的优化选择问题是将几种方案进行比较，选择最佳的方案。

一个星级旅馆有150个客房，每问客房定价相等，最高定价为198元，最低定价为88元。经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为198元时，住房率为55%；每间客房定价为168元时，住房率为65%；每间客房定价为138元时，住房率为75%每间客房定价为108元时，住房率为85%.欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价？

分析与思考：据经理提供的数据，客房定价每下降30元，入住率即提高10个百分点。相当于平均每下降1元，入住率提高1/3个百分点。因此，可假设随着房价的下降，住房率呈线性增长。

（二）金融与经济

现代经济生活中，人与金融之问的关系日益密切。金融类的题目注重了针对性、典型性、新颖性和全面性，因而对数学素质方面的要求就更高。

涉及金融与经济的建模题常见的有投资问题、住房贷款问题、分期付款问题、证券问题等。一般的做法是通过数学建模将此类题型转化为初等数学中的常用知识点来解决，如数列问题、幂函数问题、不等式问题等。

例 （购房贷款）：小李年初向银行贷款20万元用于购房。已知购房贷款的年利率优惠为10%，按复利计算。若这笔贷款要求分10次等额归还，每年一次，并从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元（精确到1 元）？

分析与思考：已知贷款数额、贷款利率、归还年限，要求出每年的归还额。本题即可化为求每年的归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限的关系。

不妨先把这个问题作一般化处理。假设向银行贷款元M0，年利率为α，按复利计算（即本年的利息记入次年的本金生息），并从借款后次年年初开始每次k元等额归还，第n次全部还清。那么，一年后欠款数M1=（1+α ） M0-k

两年后欠款数M2=（1+α ） M1-k=（1+α ） 2M0-k[（1+α ）+1]

N年后欠款数Mn=（1+α） Mn-1-k=（1+α） nM0-k[（1+α） n -1]/ α

由Mn==0

可得k=α（1+α） n + M0/ （1+α）n-1

这就是每年归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限之问的关系式。

对于上述购房问题，将a =0.1，M0=200 000 ， n=10代入得32 549.6元。

本题建模的关键在于：将每年的归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限的关系化为数列计算问题。

（三）估算与测量

估计与测量是数学中最古老的问题。估算与测量类的建模题，其背景包括人们日常生活和生产、科学技术等方面的一些测量、估算、计算。

对于估算与测量的题目，一般要先理解好题意，正确建模，然后通过周密的运算，找出结论。这类题目常常可转化为函数、不等式、数列、二项式定理展开式、三角函数等知识进行处理。

四、实践中开展数学建模教学的建议

（一）在公式中使用建模思想

在高数教材中占有重要位置的是公式，也是要求学生必须掌握的内容之一。为了让教师的教学效果进一步提升，在课堂上老师不仅要让学生对计算的技巧进一步提升之余，还要和建模思想结合在一起，让解题难度更容易，还让课堂氛围更活跃！为了让学生对公式中使用建模思想理解的更透彻，老师还应该结合实例开展教学。

（二）讲解习题的时候使用数学模型的方式

课本例题使用建模思想进行解决，老师通过对例题的讲解，很好的讲述使用数学建模解决问题的方式，让学生清醒的认识在解决问题的过程中怎样使用数学建模。完成每章学习的内容之后，充分的利用时间为学生解疑答惑，以学生所学的专业情况和学生水平的高低选择合适的例题，完成建模、解决问题的全部过程，提升学生解决问题的效率。

（三）组织学生积极参加数学建模竞赛

一般而言，在竞赛中可以很好地锻炼学生竞争意识以及独立思考的能力。这就要求学校充分的利用资源并广泛的宣传，让学生积极的参加竞赛，在实践中锻炼学生的实际能力。在日常生活中使用数学建模解决问题，让学生独自思考，然后在竞争的过程中意识到自己的不足，今后也会努力学习，改正错误，提升自身的能力。

五、结论

高等数学主要对学生从理论学习走向解决实际问题的能力进行培养，在高等数学中应用建模思想，促使学生对高数知识更充分的理解，学习的难度进一步降低，提升应用能力和探索能力。当前，在高等教学过程中引入建模思想还存在一定的不足，需要高校高等数学老师进行深入的研究和探索的同時也需要学生很好的配合，以便于今后的教学中进一步提升教学的质量。

参考文献

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