李量夫

一、教材结构与内容简析

（一）本节内容在全书及章节的地位

《一元微分应用之函数的单调性和极值》是我校《高等数学》第三章的第三，四，五节。本章内容主要分为三个部分：一是微分中值定理，二是洛必达法则，三是函数单调性，极值和最值研究。本节属于导数的应用部分，是本章的重点之一，也是期末考试和考研题中经常考察的部分。在第二章已经学完了导数和微分的概念、运算，而且还研究过了三个微分中值定理和泰勒展式，后面是微分在几何，物理，经济上的应用。

所以本节在整个章节中起到了承上启下的作用。

（二）数学思想方法分析

作为一名高校数学教师，不仅要把高等数学知识传授给学生，更重要的是传授给学生逻辑思维方法、数学意识，自主学习数学和运用数学的方法。因此本次课在教学过程中，着力培养学生观察能力、联想能力，数据挖掘能力等。培养学生严谨的学习态度和发散性思维；注重培养学生制作几何图形，通过直观的图形去解决问题的思维过程，如函数的单调性可用函数的一阶导数来表示，函数的凹凸性用二阶导数来表示等等，学会用数学方式思考问题，解决问题。学会数学建模的一般方法。

二、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征 ，我制定如下教学目标：

（一）基础知识目标。掌握闭区间上的连续函数，极值可能在哪些点取得，即极值存在的充分条件，必要条件；会利用单调性，凹凸性画图和求极值、最值。

（二）能力训练目标。培养学生观察、联想、构造、数据挖掘、数学建模等能力，学会通过建立几何图形直观解决问题的方法，学会挖掘数据之间的联系和区别，学会透过现象看本质。

（三）情感目标。让学生在学习《高等数学》的过程中体验到把数学知识可视化，把实际问题转化为可利用资源的成就感，认识到世界上任何事都可为，要做好却要认真对待，付出艰辛劳动的道理。

三、教学重点、难点、关键

本节的重点是利用函数的一，二阶导数求函数的极值。难点在于把实际问题转化为数学模型，和利用函数图形解决实际问题。

下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，再从教法和学法上谈谈：

（一）教法

数学是一门培养和发展人的思维能力的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然，知其所以然”，更重要的是学会思考问题、解决问题的方式和方法。为了遵循大学生的学习认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了多种教法设计和尝试，在教师和同学的互相引导下，模拟当时的情景，通过同学们自己学习，互相提问以及开放性问题的设置来引导学生思考，在思考中体会社会实践的多样性和数学知识的严谨性和开放性，使同学们获得从表象中挖掘发现真相真理的成就感，增加学习数学的兴趣，增强对学数学、用数学的认同感。

（二）学法

我们常说“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人。”因而在教学中要特别重视学法的指导，让同学们从被动接受，转化为自主研究自主学习。随着《高等数学》课程改革的深入开展，在课时逐渐压缩的大背景下，转变学生学习方式必将是本次课程改革的重点之一。课程改革的具体目标之一是“改变教学实施过程中，过于强调学习知识、要求知识的无错再现、题海战术的现状，倡导学生积极主动参与社会实践、乐于探究挖掘数据中隐藏信息、勤于动手学习数学软件，培养学生搜集和处理数据的能力、获取新知识的方法和能力、分析和解决实际问题的能力以及交流与合作的能力”。

转变大学生学习《高等数学》的方法和方式，不仅有利于提高学生的数学素养、综合能力，为以后的科学研究做准备，而且有利于促进学生群体学习知识、运用知识方式的转变。由原来学知识，做习题变成现在研究问题，找数学原理和专业知识学习的转变。我以书本中的例题为出发点，辅以数学理论知识，通过多媒体和现代通讯手段，再现情景等偏重于探索研究的教学方法，结合师生共同讨论、归纳等多种方式来实现本章节内容的学习。

我再具体谈一谈这堂课的教学过程。

四、教学程序及设想

（一）从生活实践中引入概念，进一步观察归纳形成定义

一个长期困惑的问题——我们的学生为什么对数学缺乏兴趣，甚至畏惧数学，我想其中的一个重要原因是，我们把数学的位置放的太高，认为《高等数学》是“阳春白雪”，高不可攀，认为数学在生活实际中用不上。事实上，高等数学与我们的生活息息相关，只有两者融合起来，从生活实践出发，利用已有的知识，去发现问题、探究问题、然后用数学知识解决问题，才能达到事半功倍的效果。

1.例如我们可以用看得见的山峰、山谷的方式引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，直观贴切，易于理解。

2.还可以借助多媒体再现函数图像，指出极值点，培养学生绘图，利用数形结合的方法来学习。

（二）互相探讨研究，深入理解极值概念

在这里通过两个函数图象使学生更加明确了极值和极值点只是在邻域内考虑。不同邻域内，极大值和极小值无可比性，极值和最值间的区别和联系。

（三）寻找充分条件和必要条件

先给出必要条件，再给出充分条件，然后讨论两者的区别和作用。进一步给出求极值的步骤，列表或者画出图形，最后探讨总结最值取值的可能范围。这样的好处在于，加深函数的一阶导数，二阶导数在求极值中的作用。最后的求最大值和最小值的步骤，有了前面图像的绘制和实际问题的背景，学生可以自行归纳总结。

（四）课后习题练手，巩固知识

书中的例题4求解多项式的最值问题，包括了求函数极值、绘制函数的图象以及讨论闭区间最值问题等多个部分。一个例题很好的综合了这一节课的大部分内容，而且多项式函数的求一阶导数、二阶导数、符号判断问题都相对简单，所以这里安排这样一个例题是明智的。学生认识到数学知识在这里得到了有效的应用，而且操作简单，可行性高，给学生以信心。

（五）进一步深入探讨，提高认知能力

在第四节中，作者提出了实际生产生活中求最值的方法和步骤，判断最值的通用方法。并给出三个实际应用的例子，每一个例子都有其深刻的含义，都有信息可以挖掘。可以通过小组讨论或同学讲授，大家提问的形式，深入挖掘例题所包含的深意。

（六）课后教学延续，留下自主探究空间

最后，我把课后的一个习题拿出来讨论，甲乙共用变压器，如何设置变压器的位置，使得用料最省。其目的是为了引入“数学建模”， 介绍数学建模的一般方法和思维方式，让同学在潜移默化中“把数学思想用于生产生活实践，或者把生活中的问题转化为数学模型”。使学生对数学知识的应用有了更深的理解，认识到数学的严谨性和灵活性。当然我注意了到了循序渐进的原则，使学生既锻炼了综合学习的能力，又不至于“跳一跳也够不到”。

以上，我给出了《一元微分应用之函数单调性和极值》一课中的讲课设计方案，不当之处还请各位老師指正。