赵红锦，耿显亚

(安徽理工大学 数学与大数据学院，安徽 淮南 231001)

固定直径树的距离平方和问题

赵红锦，耿显亚*

(安徽理工大学 数学与大数据学院，安徽 淮南 231001)

定义图G中所有点对间的距离的平方和为，其中dG(u,v)为图G中任意顶点u,v之间的距离，LG(v)表示图G中点v到其它点的距离的平方和。在所有直径为d的n顶点树中分别确定使S(G)最小和第二小的树。

树；悬挂点；直径

1947年Harold Wiener引入了第一个化学指标（现称为Wiener指标）并发表了一系列的文章力证了有机化合物分子图的Wiener指标与分子化合物的一系列物理化学指标间有着密切联系。文中的图均为树图，与树的Wiener指标相关文章见文献[1-6]。近来许多学者将研究目标放在寻找具有最小和第二小指标值所对应的图上，并取得了一些成果见文献[1,7,8]，且在Wiener指标之后引入了一个新指标S(G)，其定义如下：

令S=S(G)为图G中所有点对间距离的平方和，表示为

其中dG(u,v)为图G中任意顶点u,v之间的距离；LG(v)表示图G中点v到其它所有点的距离的平方和。该量是由Mustapha Aouchich和Pierre Hansen在[9]中引入并在专论中得以广泛研究。S(G)被用于距离谱半径的研究，Zhou和Trinajstić利用阶数n证明了距离平方和S(G)的上界，见[10-12]；并在只使用S(G)的情况下确定了图的距离谱半径的下界。作为它的延续，该文中确定在集合Tn,d(3≤d≤n-3)中使S(G)最小所对应的树。

文中所有的图都是简单且有限的。G=(VG,EG)表示顶点集为VG边集为EG的图。G-v,G-uv分别表示删除图G中点v以及点v所关联的边和删除边uv(uv∈EG)所得到的图。类似地，G+uv表示在图G上添加边uv(uv∉EG)，其中u,v∈VG。图G中与点v相邻的所有顶点的个数称为顶点v的度，表示为d(v)。……