周俊东，黄映雪

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

Sn×R中具有常平均曲率的超曲面研究

周俊东，黄映雪

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

研究了积空间Sn×R中具有常平均曲率的完备超曲面，通过计算超曲面一些几何量的Laplace，运用Omori-Yau的一般性极值原理，得到一些刚性定理和一个不等式，给出完备超曲面的分类。

积空间；完备超曲面；常平均曲率

积空间中的曲面被广泛研究。S2×R中定角曲面[1]的完全分类研究很多。Batista给出S2×R和H2×R中具有常平均曲率曲面[2]上的一个Simons型方程。Aquino C P等研究了积空间中具有常平均曲率完备超曲面的角[3]。关于积空间中的子流形研究，参考文献[4-7]。

本文研究了Sn×R中具有常平均曲率的完备超曲面，通过活动标架法，首先计算了|T|2的Laplace，利用Omori-Yau的一般性极值原理，得出此类超曲面一定位于Sn中，且是极小。其次计算了第二基本形式模长平方S的Laplace，利用Omori-Yau的一般性极值原理，得出此类超曲面关于Ricci曲率和截面曲率的刚性定理和一个不等式。

1 预备知识

设Mn是Sn×R中的超曲面。在Sn×R上选择局部标架场 e1,···,en+1,当限制在 Mn上时，e1,···,en是切于 Mn和 en+1是法于 Mn。 我们对各类指标范围约定：1≤i,j,k,···≤n,用 t表示 R 的坐标，∂=∂表示R方向的切向量场。∂可作如t∂tt下分解：

在活动标架下，Sn×R黎曼曲率分量可表示：

2 主要定理与证明

定理1设Mn是Sn×R中的具有常平均曲率的完备超曲面，若|T|2≤1且Ricci曲率有下界，2则Mn是位于Sn中的极小超曲面。

证明计算|T|2的 Laplacian：

由Mn是完备的且Ricci曲率有下界，|T|2有界，由引理1可得：对任意的收敛于0的数列。

{εi}→0,(i→∞),则在Mn上存在一组点列{xi}，使得