戴作科,董新汉

(湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国 长沙 410081)

有界单连通区域上解析逆紧映射的拓扑度

戴作科,董新汉

(湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国 长沙 410081)

设Ω和G都是边界局部连通的有界单连通区域，假设f是Ω到G的解析逆紧映射. 通过将单连通区域提升至单位圆盘，本文得到了G的边界点的分支数和其逆象点分支数之间的等式关系，并讨论了f的拓扑度和逆象点个数之间的不等式关系.

割点；拓扑度；分支数

AbstractLettingΩandGbe two simply connected domains with locally connected boundary, lettingfbe a proper holomorphic mapping fromΩontoG, and liftingΩandGonto unit discs, in this work, we have obtained the equality relationship between component numbers of the point on ∂Gand those of its different inverse image points on ∂G. The inequality relationship between the topological degree offand the number of the different inverse image points is also obtained and discussed.

Keywordscut point; topological degree; component number

假设X和Y是两个拓扑空间，令Ω和G分别为X和Y中的两个子集，f:Ω→G为一个连续映射，如果G中每个紧子集的逆象集都是Ω中的紧集，则称f是Ω到G的逆紧映射[1]. 在分形几何与复分析的交叉研究中[2-6]，Cantor边界性质的专题研究必须借助全纯逆紧映射的性质. 对一般解析函数(非逆紧)，其定义域边界的象集分全平面C为若干个连通分支，则相关连通分支的个数、拓扑度和判别点个数又紧密联系着. 著名的Riemann-Hurwitz公式阐述了这个联系[7]. 为了更深入揭示Cantor边界性质中Cantor集C的性质，我们需要边界上割点的重数[8]和连通分支上的拓扑度之间的联系. 本文的目的就是刻画这种联系，至于它的应用我们将另文给出.

引理1[2-3]令f∈A(Ω)且f:Ω→f(Ω)是逆紧的，则存在k>0使得对于任意w∈f(Ω)都有

nf(w,Ω)≡k.

我们称上述引理中的k为映射f的拓扑度.

引理2[2-3]设f是一个在D内解析的函数. 如果f满足f(D)=D和nf(w,D)≡k<∞，∀w∈D,则f是一个拓扑度为k的有限Blaschke乘积，即

其中zn∈D，β为实数. 此外，f′(z)在D中有k-1个零点(按重数计算)，当|z|=1时，f′(z)≠0；当|w|=1时，nf(w,∂D)=k.

由定义1及割点的定义可知，当且仅当αE(a)>1时，a为E的割点.

1 主要结论

解……