杨静梅�オ�

摘要：

“一题多解”在当下高中数学教学中占据着重要的地位，能够培养学生的思维能力和提高学习效果。“一题多解”具有广泛的应用性，本文在我国新一轮基础教育课程改革的背景下，选择了“一题多解”的变式教学方式为研究对象，对高中数学教学中的各个环节中“一题多解”的应用进行研究。介绍了“一题多解”在新授课中情境创设、公式推导、例题讲解和练习中的应用，使用具体例子对所述观点加以论证并利用变式对例题加以变换，进行变式教学。本文有利于教师更加深入了的了解“一题多解”在教学环节中应用的方式和好处，为教师提供初步的指导和参考。

关键词：高中数学教学；“一题多解”；变式教学

1引言

随着教育体制的不断进步和改革，教育的目的和教学方式都是为了提高学生的综合素质。在高中课程改革的过程中，不断渗透着让学生在学习过程中在教师的引导下“再创造”、“再发现”的理念。随高中新课程改革的推进和实施，教育部门对高中数学课堂的有效性要求越来越高。因为数学是一个完整性与复杂性相统一的学科，因此学生在学习的过程中便会存在很多困难，所以在教学中应该注重培养学生灵活解题的思维能力做到“一题多解”变式解答，让学生在学习中慢慢体会到学习的乐趣，从而提高学习数学的积极性和学习成绩。

在目前高中数学教学中，教师教学依旧没有脱离“题海战术”的教学方法，通过让学生课后做大量的习题来提高学生解决问题的能力。大量的问题解决训练确实可以提高学生的数学能力和基本概念的掌握，但大量的训练可能使学生对数学学习产生疲劳感，数学思维变得局限。为了改变这种现状，采用“一题多解”的教学方法在高中数学教学中是非常必要的。

1.1提出问题

数学教学，是在做好充足全方位备课后对学生进行思维引导，在讲解数学题时必须有一个总思想，那怎样通过“一题多解”设计一堂完整的数学课的各个教学环节来提高学生的成绩及思维能力呢？本文在相关文献的基础上对这一问题进行了系统的阐述。

1.2“一题多解”的概念

“掌握数学就意味着善于解题”─波利亚。解题是数学教学的一个重要内容，它不仅可以推进数学认知的过程，也可以培养学生的思维能力。“一题多解”是常用的教学模式，也可以说是在教学理论中的“问题变式”

。“一题多解”就是从不同的角度解决同一问题的不同方法。“一题多解”包含的概念、定理、性质和方法较单一，而方法却灵活多变。因此，“一题多解”不但能锻炼解题的基本技能，而且可以更有效的发展逻辑思维，提高全面分析问题和解决问题的能力。

2“一题多解”在高中数学新授课教学中的应用

随着新课改的进行，高中数学教学所提倡的教学模式为：创设情境—问题探究—新课讲解—例题讲解—巩固提升。在新课讲授的时候，教师应该根据学生的认知结构以及现有的知识水平，将原有知识作为构建新知识的基础，再利用“一题多解”的变式教学方法让学生牢固掌握所学知识，而不是通过题海战术来强化知识，不然只会适得其反。以下根据教学过程中各环节应用到的“一题多解”进行阐述。

2.1情境创设中的“一题多解”

新知识来源于问题的发现，因此在创设情景时应该注重问题悬疑的设置从发现问题入手，从学生身边常见的情景入手，创设与学生实际相关的情境引导学生进入问题探究性学习，使新知识和以前学习知识之间有一个很好的过度.在教学中，巧妙的利用情境设置合理的问题，使之能够吸引学生的兴趣，在遵循新大纲的基础上，关注学生的最近发展区，设置一系列合理的变式情景问题，让学生在所创设的情境中，由原有知识经验中挖掘出与新知识相关的旧知识点，新旧知识的碰撞激起学生的求知欲。这样通过这一系列合理的问题设置，让学生产生好奇心“为什么？”和“怎么办？”。这样在这节课的开始学生就能感受到精彩，为后续的学习奠定了一个好的开始。

【案例1】在“充分条件与必要条件”的教学过程中考虑到高一学生已有的知识经验的欠缺，利用日常生活中事件创设问题情境来提出课题的问题，并让学生利用原有的知识分析，事件中的几个问题，为后面定义的分析做铺垫。

事件1：“小明妈妈要做一件衬衫，需用布料便到布店去买，问老板应该买多少？老板说买3米便足够了。”于是，有了“3米布料”和“能否做一件衬衫”的关系。此事例为引导学生归纳后面的充分条件的定义做了铺垫。要说明该事件包括：A：有3米布料；B：夠做一件衬衫。

事件2：“一病人病重，呼吸非常困难，在住院急诊后接氧气。”就产生了“氧气”与“能否抢救成功”的关系。事例为引导学生归纳后面的必要条件的定义做了铺垫。要说明该事件包括：A：接氧气；B：抢救成功。

事件3：某一天你和你的妈妈在商场遇到数学老师的时，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。你想一想这个时候你妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”吗？

小结：用以上生活中的常见的事例来说明数学中要学习的概念、关系，实现培养学生逻辑思维上的“一题多解”，有助于提高学习兴趣和掌握概念。

2.2公式推导中的“一题多解”

在高中数学的学习中，数学知识量大涵盖内容广，在解题的时候除了一些必要的知识概念需要记住以外，数学公式在解题中也是占了很大比重的，所以在学习时必须要让学生灵活的掌握公式，而不是死记硬背。因此在教学过程中教师要注意重视公式的推导，其实公式推导过程就是一种解题方法或解题技巧。如果在公式的推导中应用“一题多解”，有助于学生在公式推导的过程中培养解题思维并能灵活应用。

【案例2】“等差数列通项公式”an=a1+（n-1）d的推导过程的教学过程。

法一：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…………………………

由此可得到an=a1+（n-1）dendprint

小结：这种方法叫做递推法，是学习公式推导时必须重点掌握的方法之一，在后面数列的求通项公式中也是经常用到，这个推导过程也是培养学生数列解题能力的一个技巧。

法二：由等差数列的定义可知：

an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d，an-3-aa-4=d…………………，a3-a2=d，a2-a1=d，累加得：an-a1=（n -1）d，从而可得：an=a1+（n-1）d

评析：上面的这种方法叫做累加法，是常用于求数列通项公式的方法，这种方法不仅让学生对公式记忆深刻，而且也学到了重要的数学解题方法和解题思路，更有助于学生思维的发展。

2.3 例题讲解中的“一题多解”

在人教版数学课本必修5中选取了例题进行分析，引导学生深入分析题目，用好所学的等差数列前项和公式及其性质，得到不同的解法，实现“一题多解”的目的。

【案例3】已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由已知可以算出其前项和公式吗？

分析1：由已知条件可知将已知条件代入等差数列前n项和公式，联立方程组便可以求得a1和d，代入等差数列前n项和公式就求得n前项和公式。

法1：由题意可知S10=30，S20=1220，将其带入公式Sn=na1+n（n-1）2d，

可得：10a1+45d=310

20a1+190d=1220

解之得：

a1=4

d=6

因此：Sn=4n+n（n-1）2×6=3n2+n

分析2：利用另一个等差数列前n项和公式sn=n（n1+an）2d

法二：

102a1+a10=310①

202（a1+a10）=1220②

②-①×2 得：a20-a10=600，由：d=am-anm-n=a20-a

1020-10解得d=6，又由Sn=na1+n（n-1）2d，得：S10=10a1+45×6=310，所以a1=4

所以Sn=4n+n（n-1）2×3=3n2+n

分析3：由已知{an}是等差数列，则可设Sn=An2+Bn，只需求出A，B。

法三：设Sn=An2+Bn，将它们代入可得

100A+10B=310

400A+20B=1220，解之得A=3，B=1所以Sn=3n2+n

分析4：利用等差数列前n项和公式Sn=na1+n（n-1）2d

变形解题

法四：由Sn=na1+n（n-1）2d

即：Snn=a1+（n-1）·d2，因此知数列

{snn}也成等差数列

因为：S1010=31010，S2020

=122020=61，所以：d=S2020-S1010=61-31=30

又因为：S10n10n=S1010+（n-1）×30=31+30n-30=30n+1

所以S10n=300n2+10n，Sn=3n2+n

在教材中只给出了第一种做法，主要是为了让学生在学习完公式后能够熟练掌握常见的解法。解法二是利用等比数列前n项和另一个公式，利用知三求二的方式求出了d与首项a1，进而求出所要求的。解法三是等差数列前

n项和的变式，利用等差数列的性质就可以写成Sn=An2+Bn，只需求出A，B即可。解法四不常见且难以想到，是利用等差数列前n项和Sn的性质，判定{Snn}也成等差数列，然后先求解{Snn}，再求Sn，利用这种解法的时候要提醒学生注意构造，否则出错率大。利用“一题多解”解决问题时教师要启发学生多思考，掌握好所学的公式，让学生明白解决问题的方法不唯一。

2.4练习和习题中的“一题多解”

一堂数学课结束，老师一般都会给学生布置大量的课后作业，效果并没有预期的好甚至会有很多抄袭的现象。所以老师要注重课后习题的设置，可以用课本上的习题，让学生用另一种方法去解答，训练学生的解题思路，提高学生的解题能力，还可以布置变式教学题或者让学生对课后习题进行“一题多解”变式练习，这样做作业不仅可以达到复习巩固的目的，还可以培养学生的学习兴趣。

例如在学习完函数的定义域后可以利用下面习题对知识进行巩固：

【案例4】原题：f（x）=mx2+8x+4的定义域为R，求m的取值范围

解：由题意：mx2+8x+4≥0在R上恒成立

∴m>0且△≤0，得m≥0

变式1：f（x）=log3mx2+8x+4的定义域为R，求m的取值范围

变式2：f（x）=log3（mx2+8x+4）的定义域为R，求m的取值范围变式3：f（x）=log3mx2+8x+4x2+1的定义域为R，求m取值范围

3.总结

在传统数学教学中，教师只用单一的方法或者是书本上提供的方法给学生讲解进行教学，忽略了知识之间的相关性和学生的发散思维能力的培养，从而限制了学生的思维，当学生遇到一个题时不会应用所学知识灵活解决.所以在教学中应该应用“一题多解”的教学方法培养学生灵活解决问题的能力并培养学生的思维能力。

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（ 作者单位：曲靖师范学院数学与统计学院，云南 曲靖 655011 ）endprint