●戚有建 (扬州中学，江苏 扬州 225009)

2017年全国卷Ⅱ文科第21题评析

●戚有建
(扬州中学，江苏 扬州 225009)

文章研究2017年全国数学高考新课标卷Ⅱ文科第21题的多种解法及深刻背景.

泰勒公式；ex≥x+1；压轴题

1 考题展示

例1 已知函数f(x)=(1-x2)ex,

1)讨论f(x)的单调性；

2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

(2017年全国数学高考新课标卷Ⅱ文科试题第21题)

分析 本题是2017年该卷的压轴题，考查的是导数的应用.第1)小题重点考查用导数研究单调性，多数学生都能解决;第2)小题重点考查用导数研究不等式恒成立问题，同时考查分类讨论、转化化归的数学思想，该小题入口较宽，解法多样，背景丰富，有一定难度和区分度，也有很大的教学价值和研究空间[1].

2 解法研究

1)解f′(x)=(1-2x-x2)ex，令f′(x)=0，则

x2+2x-1=0，

即

下面重点研究第2)小题.

2)解 由题意可知：对任意x∈[0,+∞)，不等式(1-x2)ex≤ax+1恒成立.

方法1 构造差函数，研究g(x)=(1-x2)ex-ax-1的最值.

令g(x)=(1-x2)ex-ax-1，x∈[0,+∞)，则

g′(x)=(1-2x-x2)ex-a,

从而

g″(x)=-(x2+4x+1)ex<0，

于是g′(x)在[0,+∞)上单调递减.又g′(0)=1-a，因此

①当a≥1时，g′(x)≤g′(0)=0，从而g(x)在[0,+∞)上单调递减，于是g(x)≤g(0)=0，符合要求.

②当0≤a<1时，

g′(0)=1-a>0，g′(1)=-2e-a<0，

又g′(x)在[0,+∞)上单调递减且连续，由零点存在性定理得∃x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0.且当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，从而g(x)在[0,+∞)上单调递增，于是g(x)>g(0)=0，不符合要求.

综上所述，a的取值范围是[1,+∞).

点评 方法1是处理含参不等式恒成立问题常用的方法，也就是将不等式恒成立问题转化为差函数最值问题，然后研究不等式“g(x)max≤0”，该方法通俗易懂，学生容易想到．但由于本小题中引入了参数a，因此需要对参数a分情况讨论处理，这对学生的思维能力提出了较高要求，另外在0≤a<1的情形中还会遇到“g′(x)=(1-2x-x2)ex-a，x∈[0,+∞)的零点不方便求出”的困难，这里需要通过“设而不求”来处理，这对学生来说有一定难度.

①当x=0时，不等式(1-x2)ex≤ax+1恒成立，从而a∈R.

又令h(x)=(-x3-x2+x+1)ex+1，x∈(0,+∞),则

h′(x)=-x(x2+4x+1)ex<0，

从而h(x)在(0,+∞)上单调递减，于是

h(x)

即

g′(x)<0，

亦即g(x)在(0,+∞)上单调递减，因此

综上所述，a的取值范……