●金灿芳 (萧山中学,浙江 萧山 311200)

不忘初心 方得始终
——基于2017年浙江省数学高考第21题

●金灿芳
(萧山中学,浙江 萧山 311200)

解题中会有困惑与停顿，但解题中更有收获与快乐.文章从代数、几何、向量这3个方面探讨了2017年浙江省数学高考第21题的解法，多角度揭示了此题的本质，并由此提出了应对高考复习的教学建议.

代数；向量；解析几何

1 考题再现

图1

1)求直线AP斜率的取值范围；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省数学高考试题第21题)

此题作为文理合卷后首年的圆锥曲线大题，载体是抛物线与直线，兼具常规与新颖的特点.题目主要考查两点间的斜率公式、直线与圆锥曲线相交的弦长公式，题型中规中矩.本题可以通过代数、几何、向量等多种途径入手解答，不仅考查了学生的代数运算功底，也考查了学生从问题本质出发对问题的转化和化归能力，对学生有一定的挑战.

2 解法探究

视角1 代数的视角

1)解 设P(t,t2)，则

2)解法1 因为直线PA的方程为

(1)

而BQ⊥AQ,所以直线BQ的方程为

f′(t)=-4t3+3t+1=-(t-1)(2t+1)2,

直线AQ与抛物线x2=y联立得

可得

将xQ，xP代入，得

|PA|·|PQ|=(1+k3)(1-k).

令f(k)=(1+k)3(1-k)，则

f′(k)=(1+k)2(2-4k)，

从而

点评 第1)小题考查的是两点连线的斜率公式，直接设点的坐标代入，利用抛物线的标准方程进行消元即可.第2)小题的解决办法从代数的角度很直观，求出点Q的坐标，这也是大多数学生首先能想到的，但只有少部分学生按照这个思路能做到底，最主要的原因是运算遇阻.无论是解法1(设点P的坐标)还是解法2(设直线AQ的方程)都需要联立直线方程，求出点Q的坐标，这是代数方……