从良法

众所周知，放缩就是将不能求和的数列转化为可以求和的数列。既然是转化为可求和的数列，那么应当使转化尽可能的“精确”。例如：

已知数列，，其前项和为，证明：.

这个证明比较简单，只需要将

然后保留第一项不放缩既可证明。而如果要证明，如果用上述方法则需要保留前两项才可以。

如果只保留一项显然通过这种放缩方法是行不通的。因此我们要提高放缩的精确度，我们可以修改放缩方法提高精确度。

如果这样做精确度高了很多，这样子放缩就只需要保留一项既可以了。

如果要证明，对的放缩就需要更进一步提高精确度了。在此我们可以用：

保留两项做到，如下：

如果少保留项数的话我们就必须更进一步提高精确度。事实上我们可以将：

这样做精确度显然又提高了。因为，因此只要证明比这个小都可以做到。

通过上面的例子我们不难得出，放缩的越精确，得到的结果越好，越接近于原先的和值。提高的精确度的路径有两条，一是改变放缩方法提高精确度，二是多保留几项。

笔者参加一次课课堂评比活动，某老师最后将递推数列化到证明，对于这个她讲了三种方法，分别如下。

方法一：利用真分数的性质，也就是 “糖水不等式”。

转化为等比数列求和.

方法二：也是将其转化为等比求和.

方法三：迭代思想，.

以上三种解法保留第一项不变，从第二项开始放缩都可以得到答案。然后老师将试题变为，学生就放缩不出来了。老师说这几种方法都行不通，于是从函数角度分析了它所谓的本质。方法一和方法二最后都是放缩到等比数列去，为了提高精确度学生发现保留三项都不可以。

因为

但是所以这种方法行不通了；

事实上如果继续保留四项还是行不通。问题出在放缩的精确度过了，也就是放多了，为此我们要提高放缩的精确度。事实上方法三是非常好的方法。因为这个关系始终成立！所以我们有如下放缩：

观察对比不难发现这两种放缩主要相差在第四项的处理上，显然迭代的放缩精确度提高了。我们不妨把第三种放缩的方法称为“类等比放缩”，也就是转化为等比数列去求原数列的“近似和”。

继08年浙江卷数列退出压轴后，15年又重新归来，其主要考查的就是递推数列。而用“类等比放缩”是一种很好的方法用以解决递推数列放缩，下面举例说明。

例1 已知数列，

（1）若数列从第二项起每一项都大于1，求實数的取值范围；

（2）若，记是数列的前项和，证明：

分析：这是高三期末测试卷.第一问略，我们考虑到要证明的式子左边有字母，而右边是前项和.因此只需证明 .

，通过特征方程的不动点易求的.

下面我们用“类等比放缩”就可以轻松完成证明。

，

例2 已知数列，，，.记，

求证：当时，（1）；（2）；（3）

分析：这是2008年浙江省高考理科最后一题，（1）（2）略.这里用“类等比放缩”证明第三问；

不妨记，即证.由题目易知

，这里我们先求“类等比数列”的公比：于是有

例3 已知为过原点的二次函数，对于任意的有

数列满足 .

（1）求函数；

（2）证明：；

（3）证明：

分析：这是杭州市高三模拟试题.由题不难求出，第二问先求出，然后作差即可证.第三问后半部分的证明比较简单，有了（2）的基础即可证明.这个题最难证明的是：

如何说明呢？我们从题设分析左边有，而，因此可转化为证明.这就又回到了“类等比放缩”

于是“类等比数列”的公比就求出来了，于是：

通过上面的几个例子不难发现，“类等比放缩”的确可以提高放缩的“精确度”，而且很多递推数列可以转化到“类等比数列”上去。最后我们再次指出放缩法证明数列不等式时精确度越高越好，提高的路径有两条，一是改变放缩方法提高精确度，二是多保留几项，但是一般不超过三项。endprint