倪 峰

(德清县高级中学 浙江 湖州 313200)

内壁粗糙碗中的动力学问题深度探究(一)

倪 峰

(德清县高级中学 浙江 湖州 313200)

笔者针对物体在粗糙碗类竖直轨道中的动力学问题进行了深入探究，推导出物体逆时针运动的角速度ω与转过的角度θ关系．本探究可拓宽读者的视野，提高优秀学生对物理的学习兴趣，发扬探索精神，体会数学与物理结合的美妙．

内壁粗糙的碗 动力学 二阶常微分方程

具体模型如图1所示，物体(可看成质点的物体)在内壁粗糙的碗中从A点向下逆时针下滑，碗可以看成半径为r的半球面.物体与粗糙内壁的动摩擦因数为μ0．从A点下滑到第一次速度为零位置的整个过程，物体受到3个力的作用，分别是重力mg，摩擦力Ff，支持力FN．除重力外，其他两个力都是变力．那如何求得物体在轨道各个位置对应的角

速度和速度呢？

图1 物体在内壁粗糙的碗中下滑

图8 反导拦截弹的轨迹

经多次尝试，由Excel数据计算得，在导弹发射经过t=479.7 s时，发射拦截弹，在t=926.7 s时拦截成功．此时位置坐标(-1 090 711 m，7 219 482 m)，

这里有误差在，只要Δt取得足够小，误差就会非常小，但数据量会很大．

图9 导弹被拦截的坐标及时间

这里提供的是在中学物理中借助Excel研究中段反导的思路，以此为引导开展研究性学习，拓展学生视野，激发学生学习兴趣，为祖国的国防做出贡献．

1 卡门线.百度百科.

2 洲际弹道导弹.百度百科.

3 课程研发中心，普通高中课程标准实验教科书(物理2 必修).北京：人民教育出版社，2010.39～45

4 何勇，关钧睿.利用计算机手段高效处理物理问题.物理通报，2014(9)：97～98

1 小球在粗糙内壁逆时针下滑的角速度ω与角度θ的关系

令物体逆时针运动的角速度ω为正方向，即逆时针ω>0．角速度

(1)

切向加速度

(2)

根据牛顿第二定律，切向方向动力学方程为

(3)

径向方向动力学方程为

(4)

Ff=μFN

(5)

由式(1)～(5)得

化简得物体下滑的运动微分方程为

(6)

式(6)为关于θ的二阶非线性常微分方程，比较复杂．可通过降阶解法，将式(6)变为一阶．

令

则

由于逆时针运动ω>0，故

则

化简式(6)得

整理得

(7)

式(7)是关于θ的一阶线性非齐次微分方程，至此完成式(6)的降阶工作．

(8)

令

代入式(8)的通解，可解得式(7)得通解为

(9)

根据方程

(10)

和

(11)

3μcosθ]+Ce-2μθ

(12)

由

得

(13)

当θ=0时

ω=0

解得

(14)

(15)

式(15)是角速度ω关于θ的解析解．可见只要知道碗轨道的半径r和物体与碗的动摩擦因数μ，就可以根据式(15)，得到物体在粗糙碗中从A点下滑做逆时针圆周运动到第一次速度为零这个过程，轨道上各个位置所对应的角速度．

图2是利用Excel作出ω～θ的关系图．

图2 角速度ω与角度θ的关系图

2 关于在粗糙碗中做匀速圆周运动一类题目的商榷

在高中题目中，有一类关于物体只受重力，支持

力和摩擦力的情况下，在粗糙碗类内壁竖直轨道上做匀速圆周运动的题目，即ω的大小不变．从式(15)

这个方程可知，不管μ值取多少，ω的大小都不可能为一个常数．类似粗糙碗类竖直轨道的匀速圆周运动，现实中并不存在，没有考虑到此模型的可行性，各物理量会出现不自洽，导致题目脱离了实际情况．

3 反思与展望

本文给出了ω～θ的解析解．但是解二阶非线性常微分方程，仅靠笔算，计算量非常庞大，有时甚至没有解析解．如果利用数学软件如MATLAB或Mathematica，通过编程，解出二阶非线性常微分方程的数值解，画出图像，往往事半功倍．当然，数值解法比较适合在求不出解析解的情况下使用．下阶段，笔者还会在本文基础上，再研究此模型其他物理量之间的关系．

参 考 文 献

1 程守洙，江之永．普通物理学2(第五版)．北京：高等教育出版社，2003.25～28

2 马文蔚．物理学(第三版)．北京：高等教育出版社，1994.5～20

The In-depth Dynamic Research in Rough Bowl Wall(I)

Ni Feng

(Deqing Senior high school,Huzhou,Zhejiang 313200)

A body going around a circle in a vertical loop track which is a classical physical model in senior high school.But,due to the limitations of high school mathematics knowledge,the physical model is often designed in an ideal situation.At present,the dynamic research is very rare in a vertical loop track of rough bowl wall at non ideal circumstances[1][2].So,this paper researches the dynamics in a vertical loop track of rough bowl wall.This paper deduces the relationships between angular velocity ω and angle of turn θ.This research can broaden reader's horizon,improve the outstanding students' interest in physics learning,develop exploring spirit and realize the beauty of mathematics and physics combination.

rough bowl wall;dynamic;the second order ordinary differential equation

2016-08-29)