卢 伟

(岳阳市第一中学,湖南 岳阳 414000)

利用全反力的定向性巧解中学物理动力学问题

卢 伟

(岳阳市第一中学,湖南 岳阳 414000)

本文探究了全反力的定向条件与应用,对于中学物理中的静力学平衡问题及动力学问题的解决均有一定的应用价值,同时通过应用可以提高学生的思维能力．

全反力； 摩擦角； 动力学

中学物理中经常分析求解与摩擦有关的力学问题(含静力学平衡问题和动力学非平衡问题),鉴于有一些文章已经探讨过利用全反力与摩擦角巧解中学物理中的平衡问题,本文仅限于探讨利用全反力在一定条件下的定向性巧解动力学非平衡问题,可以做到简化解题思路,提高解题效率．

1 全反力、摩擦角和自锁的概念和规律

(1) 全反力:理论力学中,法向反力FN与静摩擦力Fs的合力FRA称为支持面对物体的全约束力,又称全反力,如图1所示．

(2) 摩擦角:摩擦力Fs达到最大值Fmax时,这时FRA与FN的夹角也达到最大值φm,φm称为摩擦角,如图2所示．

图1

图2

① 物体即将滑动时全反力的方向决定于最大静摩擦因数μs,与FN的大小无关．物体滑动时(无论匀速还是变速)的全反力的方向决定于动摩擦因数μ,也与FN的大小无关．

图3

② 全反力方向在以法线为轴的锥形区间内,称为摩擦锥(笔者将其称为自锁区),如图3所示．如果作用于物体的主动力的合力FR的作用线在摩擦角之内(自锁区内),则无论这个力多么大,总有一个全反力FRA与之平衡,物体保持静止,如图4所示;反之,如果主动力的合力FR的作用线在摩擦角之外(圆锥自锁区外),则无论这个力多么小,物体也不可能保持平衡,如图5所示．这种与力大小无关而与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件．物体在这种条件下的平衡现象称之自锁现象．

图4

图5

③ 自锁现象中一般有一个力发生变化,从而导致与其关联的其他力相应变化,但物体的平衡状态却不能被打破．因此在任意方向的坐标轴上都有ΔF正向=ΔF负向．

④ 一般情况下μs>μ,中学阶段为了突出基础,降低难度,简化问题,将最大静摩擦因数μs与动摩擦因数μ等同处理——所以试题中经常说明“最大静摩擦力等于滑动摩擦力”,值得注意的是2012年高考新课标第24题中,动摩擦因数与最大静摩擦因数分别用μ和λ表示,进行了区分．

2 全反力与摩擦角在动力学问题中的应用

图6

(1) 求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小．

(2) 拉力F与斜面的夹角多大时,拉力F最小?拉力F的最小值是多少?

传统解法(以牛顿运动定律为核心的解析法).

(1) 设物块加速度的大小为a,到达B点时速度的大小为v,由运动学公式得

(1)

v=v0+at.

(2)

联立(1)、(2)式得

a=3 m/s2.

(3)

v=8 m/s.

(4)

图7

(2) 设物块所受支持力为FN,所受摩擦力为Ff,拉力与斜面间的夹角为α,受力分析如图7所示,由牛顿第二定律得

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma.

(5)

Fsinα+FN-mgcosθ=0.

(6)

又

Ff=μFN.

(7)

联立(5)～(7)式得

(8)

由数学知识得

(9)

由(8)(9)式可知对应F最小的夹角为

α=30°.

(10)

联立(3)(8)(10)式,代入数据得F的最小值为

(11)

非传统解法(应用全反力定向规律的图解法).

(1) 第一问解法与传统解法相同．

(2) 设物块所受全反力为FRA,FRA与法线的夹角(摩擦角)为φs,拉力F与斜面间的夹角为α,受力分析如图8所示．

由第(1)问分析可得合力的大小为

F合=ma=1.2N.

图8 受力分析

图9 构建力矢量图

将全反力平移,使其末端与合力的末端连接,拉力的起端为重力的末端,拉力的终端为全反力的起端,则当拉力F与全反力FRA垂直时,拉力F最小,如图9所示,此时重力、拉力、全反力首尾相连后形成缺口,连接缺口的力即为合力,合力的起端为重力的始端,合力的终端为全反力的末端．

可知拉力与水平面的夹角(θ+α)等于重力与全反力之间的之间的夹角(θ+φs),故

图10 解力三角形

α=φs=30°.

将拉力拆成F1和F2两个同向分量,构建两个力三角形,如图10所示．则有

所以最小拉力为

比较两种解法,以牛顿运动定律为核心的解析法,需要借助三角函数求极值方法(也称辅助角公式),过程严谨,但较为抽象,适用于计算题;以全反力定向规律为核心的图解法,则需要借助几何知识(求角和边长),过程直观,物理意义明确,特别是对于阐明拉力为什么垂直于全反力时最小变得简单明了,但图解法需要较多的文字说明图形的物理意义,更适用于选择与填空题．

掌握全反力与摩擦角的有关规律,在求解静力学问题和动力学问题时灵活运用,可以有效降低分析难度,简化解题过程．

1 哈尔滨工业大学理论力学教研室编.理论力学(Ⅰ)(第6版)[M].北京： 高等教育出版社，2002：111.

本文系湖南省教育规划课题“数学模型在中学物理教学中的建构与应用研究”(编号:XJK014CZXX077)阶段性成果之一．

2017-04-12)