陈桂宏

(江苏省如皋市搬经中学 226500)

平衡问题中经常会出现共点力求极值的情况，借助三角函数可以解决此类问题，但是对学生的数学能力要求较高，引入摩擦角却可以避免繁琐计算，简化极值的求解.本文就通过例子感受引入摩擦角对问题解决的便利.

一、依托摩擦角，研究水平面上的匀速直线运动

例1一木块位于水平面上，木块与地面之间的滑动摩擦因素是μ(0<μ<1).现在在木块上施加如图1所示的拉力F使得木块做匀速直线运动.设F与水平面的夹角是θ，当θ的角度从0逐渐增到90°的过程中，木块始终保持速度不变，则( ).

A.F先减小后逐渐增大 B.F一直在增大

C.F的功率逐渐减小 D.F的功率始终保持不变

解析基本解法是先分析木块的运动状态，因木块速度保持不变，所以始终处于平衡状态，因此画出相关的受力图，根据力的合成与分解进行解题.经过一系列运算，可以判断出A,C正确.因运算量与借助摩擦角的方法相比，较大，因此对此类问题，也可以尝试用摩擦角解决.将木块所受的支持力和摩擦力用FR等效替代，则木块只受到三个力的作用，其中FR方向保持不变，与竖直方向的夹角为φ(tanφ=μ)，画出此时木块的受力分析图，并结合平行四边形法则，最终得到如图2的图.当θ的角度从0逐渐增到90°的过程中，由图知，F先减小后逐渐增大.又木块处于平衡状态，则水平方向的合力为0，即Fcosθ=FRcosφ，则F的功率p=Fvcosθ=FRvcosφ.因此当θ从0增到90°的过程中，FR逐渐减小，所以功率逐渐减小.

反思借助摩擦角避免了一般解法的繁琐思考与计算，但需要学生切实把握物体的受力情况，和把FR等效替代的哪些力了然于心.

二、凭借摩擦角，理清斜面上的匀速直线运动

例2质量为m的一物体放置在倾斜角为θ的斜面上，已知物体与斜面之间的动摩擦因素是μ，问拉力取值最小时，物体能够沿着斜面匀速向上运动，求此时的拉力.

三、借助摩擦角，解决磁场中的匀速直线运动

A.30° B.45° C.60° D. 90°

解析引入摩擦角，从b端看过去的平面如图6所示，易知摩擦角φ=tan-1μ=30°，当导体受到的安培力FA垂直于轨道对ab的作用力时，FA取值最小，又磁场与FA垂直，故磁场与导轨夹角是60°.

反思摩擦角可以简化问题，避免力的一一表达，让解题思路更加清晰.

借助摩擦角解决某类问题要比常规方法简单快捷，尤其是当学生对三角函数公式不太熟练时.引入摩擦角，借助动态的三角形的方法，寻找满足题目要求的极值，在一定程度上降低了对学生数学能力的要求.