张培培

摘 要：动态问题是中考题里常见的题型，涉及点动、线动、面动等问题，对于这类需要一定想象空间的问题，我们很多同学解决起来较为困难。往往觉得“未见其题，先怕其分”，看到这些题目心理上首先就很紧张，本文通过例题分析，探讨这类问题的解决方法。

关键词：牵一发动其身 静观其变 有始有终

一、问题背景

“动点问题”是各地中考压轴题经常出现的题型，它是指情境中存在一个或多个动点，它们在“线”（线段、射线或弧线）上或“面”上运动的一类开放性题目.这类问题题型繁多、题意创新、综合性强，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力，能灵活运用有关数学知识解决问题. 解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形.

二、例题解析

历年中考压轴题中常常会出现由点的运动引起的图形变化或重叠面积类的问题，这一类问题涉及的知识点多，考查的数学思想种类多，是大部分同学觉得比较难以解决的一类问题，我们通过以下两个例题来研究对于动态问题应该怎么去分析和入手.

例1.（2014年徐州28题）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG.

（1）试说明四边形EFCG是矩形；

（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中；

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；

②求点G移动路线的长.

分析：动态问题无论是“点动”还是“线动”都需要抓住三个“核心”.三、“牵一发动全身”，二、“静观其变”，三、“有始有终”

分解核心一：所谓“牵一发动其身”是指必须明确问题中是谁的运动引起的哪些在运动、在改变.本题中由于点E在射线AD上运动引起⊙O和矩形EFCG的大小以及位置改变.

分解核心二：所谓“静观其变”是指明确在变化过程的“静态量”，也就是没有发生改变的线段，角，图形形状，大小等等。点E的运动没有改变的是：①直径CE所对的两个圆周角∠CFE和∠GEF是直角不变，结合条件EG⊥EF，则解决问题（1）四边形EFCG是矩形.；② D点始终在⊙O上，射线BD与⊙O相切时，切点必为D，因此射线BD与⊙O相切时， OD⊥BD即如下图所示；③∠CEF与∠CDF均为弧CF所对的圆周角，角度不变，则△CEF∽△BDC不变，则CE最短时，CF、EF最短，面积随之最小，因此CE=CD时，矩形面积有最小值，易求矩形面积；

分解核心三：所谓“有始有终”是指明确点运动的起迄位置，谁先动，谁后动，何时停等等问题。

如上两图是E点运动的起迄位置，因此，G点的运动路径是右图中线段DG，即CE的长，通过相似易求出CE的长.重点分析第（2）题。

解：（2）①存在.

∵∠CEF=∠CDF（同弧所对的圆周角相等）

∠CFE==∠CDB=90°

∴△CEF∽△BDC

∴CE=CD时，CF，EF最小，矩形EFCG的面积最小；

CE=AC时，CF，EF最大，矩形EFCG的面积最大为12

∴

∵AD=4，AB=3，

∴BD=5，

∴，，

∴S矩形EFCG=

∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为

②如图DG=CE=CD×cos∠CEF=

∴点G移动路线的长为.

[点评]任何动态问题都不是“老虎”，只要抓住关键的入手点，拿大部分分数不是问题，首先在心理上要相信自己。

例2. 如图1，在等腰△ABC中，底边BC=8，高AD=2，一动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC向右运动，到达D点停止；另一动点P从距离B点1个单位的位置出发，以相同的速度沿BC向右运动，到达DC中点停止；已知P、Q同时出发，以PQ为边作正方形PQMN，使正方形PQMN和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）.

（1）当点N落在AB边上时，t的值为 ，当点N落在AC边上时，t的值为 ；

（2）设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S，求出当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式以及t的取值范围；

分析：含速度，涉及时间的点动问题，离不开路程、速度、时间三者的关系，一般随着时间的变化，图形在发生位置，大小，形状上的变化。

分解核心一：“牵一发动其身”，随着Q，P运动，正方形PQMN向右平移，后逐漸变大。

分解核心二：“静观其变”， ①变化过程中BQ=t，CP=8-t-1=7-t，表示方法不变；②△BQR∽△BDA， △CPT∽△CDA相似关系不变，则可根据相似三角形的性质表示出线段长，从而求图形面积.

分解核心三：“有始有终”，Q点从B到D，P点从起始到CD的中点，随着时间的变化重叠部分发生五次变化，因此对于时间t需要分为五个时间段，其中有两段是题目需要的。

解答如下：（1）1 ，

（2） 当0当1

当2≤t≤4时 S=1

当4≤t≤时 S=（t—3）2

当

∴S=S△ADC-S△AMS -S△PTC

=4-（5-t）2- （7-t）2

=-t2+t-

（此处为了让学生更好的理解对时间的分段，特别把五段函数都列举了）

[点评]涉及到时间的动态问题，关键要分清随着运动时间、运动路程的变化，图形中哪些在变，哪些不变.

提到压轴题，提到动态问题，我们往往觉得“未见其题，先怕其分”，看到这些题目心理上首先就很紧张，通过以上两个动态问题的研究，我们知道从题目的条件入手，分析“三个核心”信息，会帮助我们解决很多问题.