张晓呵广西民族大学理学院

第一型曲面积分的中值定理

张晓呵
广西民族大学理学院

本文提出了第一型曲面积分的中值定理，并给出相关证明。与现有证法的区别是本文并未用到连续性，而是引入了定义在曲面上函数的介值性，再加之可积性，来定义和证明中值定理，此外还提出了第一型曲面积分的相关性质。

第一型曲面积分；介值性；可积性；中值定理

此文为广西民族大学大学生创新训练项目“项目名称：第一型曲面积分的中值定理”的阶段性成果，该项目获得国家级立项，项目编号：201610608017。

1 引言

积分中值定理体系庞大，但仍然有大量数学学者在研究，在华东师范版[1]和刘玉琏[2]的数学分析中给出了积分中值定理和积分第二中值定理的定义和证明后，对于其在曲线和曲面上的形式并未明确，而本文给出了第一型曲面积分的中值定理。目前就第一型曲面积分的中值定理的提出和证明主要在连续型曲面[3-5]上，而本文给出的中值定理将“连续性”弱化为“介值性”和“可积性”，扩大其应用范围。

2 定义和定理

2.1 第一型曲面积分的定义和性质

我们先回顾文献[1]中关于第一型曲面积分的定义

定义2.11设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S做分割T，它把S分割成n个小曲面块Si(i=1,2,...n），以ΔSi记小曲面块Si的面积，分割T的细度若极限：

存在，且与分割T及(ξi,ηi,ζi)(i=1,2,...n)取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分，记作∬Sf(x,y,z)d S。

我们可以观察到，第一型曲面积分和第一型曲线积分有着很多类似之处，我们给出曲面积分的以下性质：