例析充要条件在数学解题中的导向性
2017-08-28江苏省苏州实验中学215000
江苏省苏州实验中学 (215000)
董逸婷
例析充要条件在数学解题中的导向性
江苏省苏州实验中学 (215000)
董逸婷
高中数学经历了多次课程改革，充要条件的内容都做了保留甚至是强化.2003年《普通高中数学课程标准(实验稿)》中“常用逻辑用语”作为单独一章被列入选修1-1、选修1-2中.充要条件是一种逻辑思维方法.但是，反观我们的教学，一般都详细讲解了充分条件、必要条件的含义及判断方法，而弱化了充要条件在解题时的向导作用.本文笔者从运用充要条件优化解题策略方面谈谈粗浅的看法，以期抛砖引玉.
利用结论成立的必要条件优化解题过程
例1 设0
含参整数解问题一直是不等式的一个难点.学生处理时往往不能准确的进行条件转化.如本例的充要条件也很难一步到位.遇到此类问题我们可以先把条件弱化，求出问题弱化后的参数a的取值范围，即原问题的一个必要条件，再在这个必要条件的基础上寻找突破口，进一步探究原问题的充要条件，从而求出参数的取值范围.
首先，将不等式(x-b)2>(ax)2先转化为(a2-1)x2+2bx-b2<0(*)
因为0
下面问题转化为了假二次不等式的整数解问题.现将问题弱化成不等式有解：
①当-1 因为a>1，所以2a-2 又已知0 回顾本题解题过程，解题的关键是利用二次函数图像求出恰有三个整数解的一个必要条件a>1，在这个必要条件下得出原不等式的解集是一个开区间，再在这个必要条件下，求出区间右端点只能在某一个小区间内活动，从而由已知可以确定这个区间的三个整数，进而得出这个区间左端点的活动区范围，列出不等式，求出参数范围.充分体现了必要条件的解题功能. 解题过程中如能合理利用题中的必要条件，首先缩小题设参数范围，再在该范围下讨论，可以极大减少分类讨论情况，降低解题难度.如下例,2008年江苏卷填空第14题： 例2 设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对于任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为 . 命题者将此题放在填空的最后一道题，作为把关题.乍一看，这类问题很容易想到求f(x)=ax3-3x+1,x∈[-1,1]的最小值；或者利用参数分离法，注意到x∈[-1,1]，必须分类讨论，求参数分离后的函数的值域或最值.无论哪种方法，都会消耗学生太多时间与精力.如能从另外一个角度考虑，先尝试求它的必要条件，再进行下一步研究： 显然，必要条件的利用得到了意想不到的简化作用. 2.利用结论成立的充分条件优化解题过程 例3 设函数f(x)=ex-1-x-ax2. (1)若a=0，求f(x)的单调区间； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围. 本题第一问是常规的单调性计算，通过求导可得f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增. 第二问常见方法有两种：一是分类讨论的方法，可能会出现不知如何分类，或者分类太多，不容易找到分类标准；二是分离参数法，只需求出参数分离后的函数的最值或值域即可.但是，参数分离后的函数的值域或最值求解时可能比较困难，需要对函数多次求导或借助高等数学中的洛比达法则，这也明显超出了中学数学的范围.这种情况如果我们可以有意识合理的使用题目的充分条件优化解题过程，可以极大降低题目解答的复杂性. 分析本题，依题当x≥0时，f(x)≥0，即f(x)=ex-1-x-ax≥0，而f(0)=0.即f(x)≥f(0).如果可以证得f(x)在(0,+∞)上单调递增，即f′(x)=ex-1-2ax≥0，则结论成立. 本题是可以直接对a进行分类讨论求解不等式恒成立问题的，但是上述解法先探求结论成立的充分条件，再证明其必要性.这种方法操作性很强，不失为处理该题的一种妙法. 前苏联大教育家赞可夫强调知识间的联系，他认为，“联系的确立，并不是因为材料的各个片段的学习在时间上相近，而是因为材料的各部分之间每一种关系本身在学生知识体系的形成过程标志着前进的运动”.逻辑从内容上看似乎很独立，在高考中看似也只体现在一个填空题或是第15题中一部分，但是它是一种辩证的思维方法，是各部分知识的纽带. 反观上述几例，充要条件作为逻辑思维方法，在解题中形成策略，其解题策略在数学中广泛应用.如在例1中，先讨论不等式有解，再讨论有有限个整数解；例3中先求出其充分条件，即使函数在定义域上单调时a的范围，再证明其必要性，避免了含参讨论.另外，在函数一章中，对于含参不等式恒成立，求参数取值范围一类问题时，也可利用特殊值法先求出其充分条件，局限范围后再讨论. 因此，在平时教学中，应该重视充要条件在解题导向性中的应用，特别是在高三专题复习时尤其注意其作为解题策略的重要性，指导学生合理利用题目充要条件突破难点，培养学生辩证思维的能力.
