四川省南充高级中学 (637000)

张小丹

对一道高三诊断试题的再探

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张小丹

题目 (2016绵阳一诊21题)已知函数f(x)=lnx+ax2-1,g(x)=ex-e.

(1)讨论f(x)的单调区间；

(2)若a=1，且对于任意x∈(1,+∞),mg(x)>f(x)恒成立，求实数m的取值范围.

本题是2016年绵阳一诊数学试卷(文理)第21题，第一题分类讨论的思路并不复杂，大多学生能自行完成.对于第二题，从题干来分析，也是属于常规题，不等式的恒成立问题，这考察的是导数在研究函数性质方面的一个应用：证明不等式或比较大小.咋一看，对于这类型的题目，学生在平时的练习过程中常有遇见—求参数的取值范围，我们通常是直接构造函数法或者是分离参数法.

我们先展示参考答案给出的解法

由q(x)=2x在[1，+∞)单调递增，于是

q(x)min=2．∴p(x)min

若p(x)的图像恒在q(x)的图像的下方，此时p(x)

若p(x)的图像与q(x)的图像在x>1某点处相交，设第一个交点横坐标为x0，当x∈(1，x0)时，p(x)

分析：参考答案是通过构造函数法，然后对参数m进行讨论，从而得出m的取值范围.

在研究这一试题的过程中，我试着用分离参数的方法来解决该题，如下

解法二：当x∈(1,+∞)时，mg(x)>f(x)

解法二虽然过程较繁，但是整个思路清晰，目标明确，步骤紧凑，没有较生硬的学生难以理解的跳跃.另外，解法二也给我们提供了证明函数不等式的又一方法：

要证f(x)>g(x)，若一些直接的方法都不好处理的话，我们可以尝试能否引进一条直线，l:y=kx+b，然后去证明f(x)>kx+b>g(x).当然这条直线l如何去找需要我们在解题的过程中多发现，多思考.