李 涛，陈必发，吕亮亮，唐国安，∗

·柔性结构机构动力学与控制·

基于驱动机构作动的柔性附件振动控制原理与算法

李 涛1，陈必发1，吕亮亮2，唐国安1，2∗

（1．复旦大学航空航天系，上海200433；2．上海宇航系统工程研究所，上海201108）

针对空间飞行器柔性附件低频振动衰减缓慢降低系统稳定性和可靠性的问题，以带有驱动机构的太阳能电池翼为例，不增加额外机构，提出了以驱动机构为作动器、电池翼与驱动机构约束扭矩为目标的振动控制方法。推导了模态坐标表示的电池翼振动的状态方程，选择第一阶模态描述电池翼弯曲振动并设计反馈控制律。以钢质弹性直尺为模型，通过数值仿真验证了该方法的有效性。

振动控制；电池翼；模态坐标；反馈控制

1 引言

太阳能电池翼是航天器上由太阳能电池片、太阳能电池基板、展开机构、锁定机构、驱动机构等组成的重要装置。当航天器入轨后，锁定机构释放，由板间铰链内的扭簧驱动，最终展成一个平面，其作用是吸收太阳的辐射能并将其转化成电能，为航天器提供能源［1］。

如今，各国航天器的发展呈现出大型化趋势，大型太阳能电池翼能够为航天器提供足够的能源供给。但是，这些转变也给航天器结构的设计及安全运行带来了一系列新的挑战［2］。相对于航天器本体，太阳电池翼的柔性较大、阻尼比很小，致使其在定向、调姿、变轨等过程中被激起的振动频率低，衰减缓慢。这些振动不仅影响航天器的姿态稳定度、定位精度以及有效载荷的正常工作，严重时还会降低航天器的使用寿命甚至导致其结构破坏［3］，因此有必要采取有效措施对太阳翼的残余振动进行抑制。

有关太阳翼在航天器变轨过程中的减振研究表明：传统的被动振动控制方法具有结构简单、易于实现、经济性良好等优点，是较早使用的振动抑制方法，这种方式需要使用额外硬件，对振动进行机械隔离或者通过能量消耗的方式衰减振动。其采用的装置通常包括弹性阻尼元件和弹性元件等［4］。但受结构质量、材料性能等因素的制约，减振效果不易达到太阳能电池翼振动控制的严苛要求［5］。那帅、朱春艳等将输入整形技术应用于抑制太阳翼调姿后的残余振动，利用驱动机构现有的硬件、无需增加其他附件，将初始参考指令与一系列脉冲序列卷积生成整形指令作为输入信号，取得了不错效果［6⁃8］。有学者采用开关式喷射发动机、运用不同的开关策略来实现振动抑制［9］，但作动需要消耗工质，不宜频繁采用。应用压电陶瓷、压电聚合物等压电材料为作动器的主动控制技术发展迅速，控制效果显著［10⁃15］。但这类方法需要复杂的理论推导和严苛的控制条件，控制器的参数设计存在不少经验因素。航天器太阳电池翼通常自备驱动机构，用于调整太阳帆姿态实现其对日定向。鉴于驱动机构输出功率大又不消耗工质的特点，将其作为振动控制的作动器，对航天器而言，不增加额外的非有效质量，因此，对其原理和算法值得进行探索和研究。

2 驱动机构作动的电池翼控制方程

为简化考虑，在分析电池翼振动时将航天器本体视为静止体。图1所示为一航天器太阳翼简化模型。以太阳翼根部为原点、延伸方向为Z轴、垂直于太阳翼面方向为X轴，根据右手定则在太阳翼上建立随驱动机构运动的直角坐标系O－XYZ。当驱动机构作用时，该坐标系绕Y轴转动，转动角度等于驱动角，记为α。

对于大型太阳能电池翼来说，其振动主要发生在低阶弯曲模态，因此将控制对象锁定为太阳翼在YOZ平面内的横向弯曲振动，控制量为调姿驱动器沿Y轴转动的角加速度α¨。

电池翼受激励后发生振动，参考该坐标系的相对位移记为xr。由于参考坐标系是非惯性坐标系，应用达朗贝尔原理可以列出电池翼的运动方程如式（1）：

式中，M、C、K分别为太阳能电池翼有限元模型的质量阵、阻尼阵和刚度阵，xr＝｛x1x2…xn｝T为节点位移向量，f（t）为惯性力。

设太阳翼绕驱动点转动的刚体约束模态为Ψ，当转动角加速度为α¨时，太阳翼上各处的加速度为α¨Ψ，则惯性力可表示为式（2）：

将其代入方程（1）可得式（3）：在线性变形范围内，驱动机构的弯矩正比于电池翼的相对位移，可写成式（4）：

选取若干太阳翼根部固支的固定界面主模态Φ，将位移向量xr表示为式（5）：

然后代入方程（3），并在方程两端同时乘以矩阵ΦT，根据模态的正交性，可以得到式（6）：

其中各变量符合式（7）：

弯矩表达式（4）则变为式（8）：

将式（6）表达为式（9）所示状态空间的形式：

其中各变量符合式（10）：

式（6）为解耦的系统模态运动方程，其第i阶方程可表示为式（11）：

对于大型太阳翼而言，其大幅振动主要由第一阶模态振动构成，故可取i＝1来研究太阳翼系统的振动控制问题。

3 控制律的设计

太阳翼第一阶振动的模态运动方程为式（12）：

式（12）右端为驱动结构的输入扭矩，可表示为式（13）：

其中ζa为人工阻尼系数。此时式（12）可写为式（14）：

根据式（14），在小阻尼情况下，人工阻尼ζa越大，太阳翼振动衰减越快。

相较于驱动机构的角加速度α¨，其角速度α·的控制更容易实现。将式（13）两端积分得式（15）：

记驱动机构的转速为式（16）：

由公式（8），仅考虑一阶模态时，太阳翼根部即1号节点处弯矩可表示为式（17）：

结合（15）、（17），驱动机构转速与弯矩之间有式（18）所示关系：

4 仿真算例的验证

为了验证该振动控制方法的有效性，考虑到图1太阳翼模型结构的对称性，将其简化为图2所示带配重的钢尺。钢尺截面为40×2（mm）的矩形，左端固定，安装了m1、m2两个配重，杨氏模量E＝2．1×1011Pa，密度ρ＝7．8×103kg／m3，泊松比ν＝0．3。设定一阶模态阻尼比ζ1＝0Ʊ 002 3，由Nastran算得钢尺第一阶固有频率ω1＝4Ʊ 8406 rad／s。

仿真共设计了两种工况。其中工况1给定钢尺末端初始位移，模拟地面实验状况；工况2驱动机构作动作为初始激励，模拟太阳能电池翼在轨调姿过程后的残余振动。在此基础上，利用MATLAB进行仿真。

工况1中，给定钢尺末端0Ʊ 1 m形变作为初始位移，根据公式（18），考虑到驱动机构的最大转速能力，设定控制增益β＝Ωmax／Tzmax＝0Ʊ 052 9。钢尺根部约束弯矩随时间变化的曲线如图3所示，结果表明实施控制加速了振动的衰减。

为验证控制增益对振动抑制效果的影响，选取4组不同的增益，等效为4组人工阻尼系数，其中第1组设置增益为0，根据式（18），相当于驱动机构转速Ω为零，不加控制，仿真结果见图4。

记录振动衰减到最大振幅5%所用的时间，见表1。

表1 不同增益下衰减时间及最大驱动转速Table 1 Attenuation time and maximum driving rota⁃tional speed with different control gains

由表1可知，随着控制增益增大，等效的人工阻尼系数相应增大，钢尺振动幅度衰减到低于最大振幅5%所用的时间依次减少为19Ʊ 5 s、10Ʊ 4 s、7Ʊ 8 s，相较于不加控制时需要268Ʊ 69 s，时间依次缩短为原来的7Ʊ 26%、3Ʊ 87%和2Ʊ 9%，与理论分析一致。同时，随着控制增益的增大，所需要的驱动机构的最大转速也在提高。因此，应根据驱动机构转速的最大能力来选择相应的增益系数。

工况2利用驱动机构作动，采用梯形信号输入，初始1Ʊ 28 s内驱动机构转速Ω如图5所示。

实施控制前后，钢尺根部约束弯矩随时间变化的曲线如图6所示，结果表明实施控制加速了振动衰减，效果显著。

同样，为验证控制增益对振动抑制效果的影响，选取4组不同的增益也即4组人工阻尼系数见表2，第一组增益设置为0，根据式（18），相当于驱动机构转速Ω为0，不加控制，仿真结果见图7。

记录振动衰减到最大振幅5%所用的时间，见表2。

由表2可知，随着控制增益增大，等效的人工阻尼系数相应增大，钢尺振动幅度衰减到低于最大振幅5%所用的时间依次减少为9Ʊ 49 s、4Ʊ 42 s、3Ʊ 11 s，相较于不加控制时需要266Ʊ 44 s，时间依次缩短为原来的3Ʊ 56%、1Ʊ 66%和1Ʊ 17%。同样，随着控制增益的增大，所需要的驱动机构的最大转速也在提高。因此，应根据驱动机构转速的最大能力来选择相应的增益系数。

表2 不同增益下衰减时间及最大驱动转速Table 2 Attenuation time and maximum driving rota⁃tional speed with different control gains

5 结论

针对航天器柔性附件的振动问题，结合计算机仿真，实现了以驱动机构为作动器的振动控制方法，仿真结果表明：

1）基于驱动机构作动的柔性附件振动控制方法能产生明显的减振效果；

2）在小阻尼情况下，控制增益越大，等效的人工阻尼系数越大，振动衰减的速率越快。

（References）

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（责任编辑：龙晋伟）

Principle and Algorithm of Vibration Control in Flexible Appendage Based on Actuating Mechanism

LI Tao1，CHEN Bifa1，LV Liangliang2，TANG Guoan1，2∗
（1．Department of Aeronautics and Astronautics Fudan University，Shanghai 200433，China；2．Shanghai Institute of Aerospace System Engineering，Shanghai 201108，China）

The flexible appendage of a spacecraft usually has the feature of low rigidity and damping，and the slow attenuation of the low⁃frequency vibration may reduce the stability and reliability of the aircraft system．To solve the vibration problem of the spacecraft flexible appendage，the solar battery wings with driving mechanism was taken as an example and a vibration control method was proposed without adding any additional mechanism．The driving mechanism was used as the actuator and the constraint moment of the wings and driving mechanism was controlled．The state equation of the vibra⁃tion of the battery wings was derived by the modal coordinates．The first order mode was used to de⁃scribe the vibration of the battery wings and the feedback control law was developed．The effectiveness of the method was verified by numerical simulation with the steel elastic ruler as the model．

vibration control；battery wings；modal coordinates；feedback control

O328

A

1674⁃5825（2017）04⁃0482⁃05

2017⁃01⁃18；

2017⁃06⁃12

国家自然科学基金（11572089）

李涛，男，硕士研究生，研究方向为结构动力学与振动控制。E⁃mail：taoli15＠fudan．edu．cn

∗通讯作者：唐国安，男，硕士，教授，研究方向为动力学与控制。Email：tangguoan＠fudan．edu．cn