朱昌海

一、引言

整数有哪些分类呢？

从倍数情况来看就有质数和合数之分；从倍2的情况来看就有奇数和偶数之分；从倒数的情况来看就有尽除除数、纯循环除数和带纯循环除数之分。题目所指的就是后面这三种除数的不同特征。

我对纯循环除数和带纯循环除数研究多年，现有本文成果。

研究问题：①循环节和被除环的关系；②纯循环除数和带纯循环除数的特征；③键盘里的奥妙；④双向被整除环的求法及其表达式。

研究方法：在我所有读过的数学书中，发现“倍数的特征”，只有“3”这个数，那么就从《“3”的倍数的特征》入手吧。

研究结果如下文表述。

二、循环节和被除环的关系

1.3和9这两个数具有共同的特征

小学五年级数学下册《“3”的倍数的特征》写着“一个数各位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。”反之亦然。除此之外，3还有哪些特征呢？3确实是太神奇了：A、凡被3整除的数，其逆排序也被3整除；B、任意打乱排序所得的新数也被3整除；C、任意分段所得各段数之和也被3整除；D、不能被3整除的数，重复A、B、C的做法，余数都相同。9也具有A、B、C、D同样的特征。为什么呢？原来3和9都不含有因子2和5，而且它们倒数的最小循环节和其自身都是一位数，这就是它们的共同点。那么，它们的共同特征是否和这两个共同点有关呢？下面有更充分的例子。

2.11、33、99这三个数具有共同的特征

这三个数都不含有因子2和5，而且它们倒数的最小循环节和其自身都是两位数，那就和“1.”中的3和9具有相同的两点。它们是否也有“1.”中的A、B、C、D这些共同的特征呢？……