江苏省仪征市月塘中学 钱元科

打破惯性思维 把握问题本质

江苏省仪征市月塘中学 钱元科

一位学生拿着考卷来问我一道题目错在哪里了：

如图所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米。现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W。

学生的解答是这样的：

解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AB。

∴四边形ACDE是矩形，∴AC=DE=1。

在Rt△ABE中，

答：铺设水管的最省费用约为69150元。

这是期中考试卷中的一道题，源于古希腊著名的“将军饮马问题”，是利用轴对称找出最近距离的实际应用。试题的参考答案是这样的：

解：作点A关于河CD的对称点A′，连接A′B交CD于O点，则点O就是水厂的位置，此时水管道最短，最短长度=AO+BO=A′O+BO=A′B；

过点A′作A′E⊥BD延长线于点E，∵AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，∴A′E=CD=3千米，BE=1+3=4(千米)，由勾股定理得，A′B=（千米）,∴W=15000×5=75000（元）。

答：铺设水管的最省总费用75000元。

试卷刚刚评讲不久，问问题的学生数学成绩也还算不错，难道不少学生对这一类问题还不理解？心里一边思忖着，一边对比着两个不同的解答……咦，学生答案中的总费用怎么比标准答案中的还少呢？

经过耐心地询问与交流，原来学生对题意的理解与参考答案的理解有不同。参考答案的理解是：水厂应建在到A、B两村距离之和最短的地方，问题即转化为“将军饮马问题”这一基本数学模型，通过轴对称构建出三点共线，再利用“两点之间线段最短”得出从A到O再到B的距离是最近的，故只要按此路线铺设管道所需费用就是最省的了。