张二丽，吴 卓

（1.郑州财经学院信息工程学院，河南郑州450044；2.澳洲国立大学，堪培拉2615）

时滞反馈广告模型的稳定性与分支分析"

张二丽1，吴 卓2

（1.郑州财经学院信息工程学院，河南郑州450044；2.澳洲国立大学，堪培拉2615）

研究了广告模型的时滞反馈，以时滞为参数，讨论时滞对模型平衡点的稳定性和Hopf分支存在性的影响.研究发现当时滞处于一定范围时，模型的平衡点稳定，并且会出现Hopf分支.最后，数值模拟验证了理论结果.

时滞反馈；稳定性；Hopf分支

广告是为了某种特定的需要，通过一定形式的媒体，公开而广泛地向公众传递信息的宣传手段.通常是商品生产者、经营者和消费者之间沟通信息的重要手段，或企业占领市场、推销产品、提供劳务的重要形式，主要目的是提高商品的销量，扩大经济效益.但并不是广告越多，商品的销售量就越大.当广告超过一定限度后，消费者会对该商品产生某种逆反心理，甚至顾虑该商品是否有质量问题等等而影响顾客的购买量.当然，顾客购买该商品的速度还与该商品是否已经买足，与足够用差多少有关系.于是文献［1］建立了如下广告与购物模型［1］

其中x（t）是对一种商品的购买水平，x0是最高需求水平，y（t）是对该商品的广告量，y0是广告量的最高限制，α，β，γ是正的常数，文献［1］中给出了系统（1）平衡点的类型，并证明系统（1）不存在周期解.

为了预测商品的购买水平，在商品购买水平上增加一个时滞反馈，即在系统（1）的第一个方程上增加k［x（t）－x（t－τ）］，可得如下时滞反馈广告模型

其中k是反馈增益，τ是正时滞.

1 平衡点的稳定性和Hopf分支存在性分析

本节将研究系统（2）的动力学行为.系统（2）有两个平衡点P1（x0，0）和P2（x0，y0）.显然，系统（2）与系统（1）有相同的平衡点.不失一般性，笔者研究平衡点P1，P2可做类似的研究.系统（2）在平衡点P1处的特征方程为

由RouthHuurwitz判据［2］可得引理1.

引理1 当τ＝0时，系统（2）的平衡点P1是渐近稳定的.

下面将研究时滞τ对系统（2）动力学行为的影响.即对系统（2）平衡点的稳定性与分支周期解存在性的影响.

设iω（ω＞0）是方程（3）的根.代入（3）并分离实部和虚部可得

将（4）中两个方程平方相加可得

引理2［3］设

其中τi0（i＝1，2，…，m），p（i）j（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）是实常数.则当（τ1，τ2，…，τm）变化时，P（λ，e－λτ1，…，e－λτm）在右半开平面上的零点重数之和当且仅当有零根出现，在或穿过虚轴时才发生变化.

引理3 （i）如果α2＋4βγy0＞2kα，则方程（3）的所有根具有负实部.

（ii）如果α2＋4βγy0＝2kα，则当τ∈［0，τ00）时，方程（3）的所有根具有负实部，且当τ＝τ0j时，方程（3）有一对简单纯虚根±iω0，其中

（iii）如果α2＋4βγy0＜2kα，则当τ∈［0，τ0）时，方程（3）的所有根具有负实部，且当τ＝τ±j时，方程（3）有一对简单纯虚根±iω±，其中

证 由方程（7）可得

当α2＋4βγy0＞2kα时，方程（5）无正实根.由引理2可得结论（i）成立.当α2＋4βγy0＝2kα时，方程（5）仅有一个正实根ω0＝.令如（6）式所定义，则（，ω0）是方程（5）的解，即λ＝±iω0是τ＝时方程（3）的一对纯虚根，当τ＞0时，是使得方程（3）有根出现在虚轴上的第一个值，由引理2可得，当τ∈［0，τ00）时，方程（3）的所有根具有负实部，故结论（ii）成立.当α2＋2βγy0＜2kα时，方程（5）有两个正根

令τj±如（7）式所定义，则（τj±，ω±）是方程（5）的解，即λ＝±iω±是τ＝τj±时方程（3）的一对纯虚根，当τ＞0时，τ0是使得方程（3）有根出现在虚轴上的第一个值，由引理2可得，当τ∈［0，τ0）时，方程（3）的所有根具有负实部，故结论（iii）成立.引理2得证.

引理4 如果2kα＜α2＋2ω2＊＋2βγy0，则＞0；如果2kα＞α2＋2ω2＊＋2βγy0，则Re

证 对方程（3）两边关于τ求导得并注意到式（4），可得

记与τ0相对应的ω±为ω0.由本文的引理1～4和文献［4］中第11章的定理1.1，可以得到下面关于系统（2）的平衡点的稳定性与Hopf分支的存在性定理.

定理1 （i）如果α2＋4βγy0＞2kα，则当τ∈［0，＋!）时，系统（2）的平衡点P1渐近稳定.

（ii）如果α2＋4βγy0＝2kα，则当τ∈［0，τ00）时，系统（2）的平衡点P1渐近稳定；而且如果2kα≠α2＋2（ω0）2＋2βγy0，当τ＝τ0j（j＝0，1，2，…）时，系统（2）在平衡点P1处经历Hopf分支.

（iii）如果α2＋4βγy0＜2kα，则当τ∈［0，τ0）时，系统（2）的平衡点P1渐近稳定；而且如果2kα≠α2＋2ω2±＋2βγy0，当τ＝τ±j（j＝0，1，2，…）时，系统（2）在平衡点P1处经历Hopf分支.

2 数值模拟和结论

在系统（2）中取α＝0.28，β＝0.2，γ＝0.18，x0＝2，y0＝3.系统（2）的平衡点为P1（2，0）和P2（2，3）.由第1小节的讨论可取k＝1，则α2＋4βγy0＝0.510 4＜0.56＝2kα，所以由引理3知方程（5）有两个正根ω＋＝0.458 3和ω－＝0.235 6.再由（7）式和引理4可得

由定理1可得当τ＝0.89时，平衡点P1渐近稳定，如图1所示；当τ＝1.673 6时，系统（2）在平衡点P1处经历Hopf分支，如图2所示.文献［1］证明了系统（1）不存在周期解，而图2表明系统（2）存在周期解，这说明时滞反馈对系统（1）的动力学行为有显著的影响.

图1 当τ＝0.2时，系统（2）的波图和相图

图2 当τ＝1.673 6时，系统（2）的波图和相图

参考文献：

［1］王树禾.微分方程模型与混沌［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，1999.

［2］马知恩，周义仓，李承治.常微分方程定性与稳定性方法（2版）［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［3］Ruan S G，Wei J J.On the zeros of transcendental function with applications to stability of delay differential equation with two delays［J］.Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive System，2003，10：863－874.

［4］Hale J K，Lunel S V.Introduction to functional differential equation［M］.New York：Springer-Verlag，1993.

Stability and Hopf bifurcation analysis of advertising model with time-delayed feedback

The advertising model with timedelayed feedback is studied.Taking the delay as parameter，we consider the effect of delay on the stability of equilibrium point and the existence of Hopf bifurcation.It is found that the equilibrium is stable and the Hopf bifurcation arises if time delay in a certain range.Finally，some numerical simulation are carried out to support the analytic results.

timedelay feedback；stability；Hopf bifurcation

ZHANG Erli1，WU Zhuo2
（1.School of Information Engineering，Zhengzhou Institute of Finance and Economics，Zhengzhou 450044，China；2.Australian National University，Canberra 2615）

O175.13

A

1671-9476（2017）02-0010-04

10.13450／j.cnkij.zknu.2017.02.003

2016-07-18；

2016-11-25

河南省高等学校重点科研资助项目（No.16A110038，No.17B110003）

张二丽（1983－），女，硕士，讲师，研究方向：微分方程的稳定性与分支理论、数学建模.E－mail：isszel＠163.com.