梁波,庞敏,张亚杰,郭大为

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连116028)

一类三维人口模型的初边值问题

梁波,庞敏,张亚杰,郭大为

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连116028)

研究一类三维人口模型初边值问题弱解的存在性. 此模型属于四阶非线性抛物方程, 可以用来描述人口问题的增长和弥散. 方法上, 利用Laplace算子得到的特征函数系，构造了适用于Galerkin方法的逼近解, 对逼近解做一致性估计获得收敛性极限，进而获得弱解的存在性.

非线性抛物方程; 弱解; 存在性

0 引言

主要研究一类三维人口模型方程的初边值问题.为获得解的存在性,主要利用Galerkin方法.首先利用此方法构造此模型方程的逼近解,其次对构造的逼近解通过选取恰当的检验函数做一些必要的估计,进而得到逼近解的收敛性结果,最后即可证明弱解的存在性(方法上也可参考文献[1-2]).

本文研究下面三维人口模型方程的初边值问题,形式如下：

(1)

(2)

(3)

其中,QT=Ω×(0,T),T>0,Ω是R3中具有充分光滑边界∂Ω的有界区域，00,a2≠0都是常数，u0(x)是定义在Ω上的已知函数，G(s)是给定的非线性函数.

定义1 一个函数满足下列条件：

(1)u∈L2(0,T;H2(Ω)),ul∈L2(0,T;H2(Ω)′)，

∬QTa2Δuφdxdt-∬QTaΔu3φdxdt-

(4)

在L2(Ω)意义下，u(x,0)=u0(x), 则称为问题(1)～(3)的弱解.

定理1 设G∈C1(R),∀s∈R,G′(s)≤γ,其中γ为常数,G(0)=0, u0∈L2(Ω),则问题(1)～(3)存在弱解且u且u∈L2(0,T;H2(Ω)′).

1 逼近解估计及存在性

设{yj(x)}(j=1,2,…)是特征值问题

对相应特征值λj(j=1,2,…)的特征函数系,则{yj(x)}(j=1,2,…)构成L2(Ω)中的一组标准正交基. 令

是问题(1)～(3)的Galerkin逼近解,其中aNj(t)(j=1,2,…,N)是待定系数,N是正常数，则aNj(t)(j=1,2，…,N)应满足下列常微分方程组问题：

(5)

(6)

其中,(·,·)表示L2(Ω)中的内积.下面用‖·‖表示L2(Ω)上的范数.

引理1 在定理1的条件下,对任意的……