王国灿

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)

某一类三阶非线性方程的三点线性边值问题

王国灿

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)

利用积分算子与上下解方法，研究了某一类三阶非线性方程的三点线性边值问题，得到了其解的存在性与唯一性.另外，在恰当的条件下，通过构造具体的上下解，证明了结论的应用性.

非线性三阶方程;线性三点边值;存在性与唯一性;上下解

0 引言

在工程物理上有重要应用，而且在流体力学中有重要意义的三阶非线性常微分方程边值问题，文献[1- 8]及其所列参考文献已经做过不少研究，但以往的工作主要局限于特殊的非线性方程及简单三点边界条件，至于解的唯一性问题，只见到几篇文献[1，5].本文利用上下解方法，考虑下列一般的三阶非线性微分方程的三点线性边值问题

(1)

其中，ai,bi≥0(i=1,2)，a1+a2>0,b1+b2>0.

我们将讨论问题(1)、(2)的解的存在性与唯一性.

1 引理

下面考虑某一类二阶积分Volterra型微分方程的线性边值问题

(3)

(4)

引理1 如果方程(3)与边界条件(4)满足

(1)函数f(t,v,u)∈C([-1,1]×R2)，且在[-1,0]上关于v单调不减，在[0,1]上关于v单调不增;

(2)存在函数β(t)和α(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤β(t)，

则边值问题(3)、(4)有解u(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤u(t)≤β(t),-1≤t≤1.

(5)

它们满足以下不等式

(7)

又从条件(1)知，存在非负常数N1,N2，使得

则边值问题

(8)

(9)

只有零解.

证明：利用反证法.

2 结论

最后我们将证明边值问题(1)、(2)解的存在性与唯一性定理.

定理1 如果方程(1)与边界条件(2)满足

(1)f(t,x,x′)∈C([-1,1]×R2)，且当-1≤t≤0时，关于x单调不减；当0≤t≤1时，关于x单调不增;

(2)存在函数α(t),β(t)∈C3[-1,1]，使当-1≤t≤1时α′(t)≤β′(t),α″(t)≤β″(t)，α‴(t)≥f(t,α(t),α′(t))，β‴(t)≤f(t,β(t),β′(t))，且当-1≤t≤0时，

则边值问题(1)、(2)有解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0，α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

(1)′

(2)′

选取α′=α*,β′=β*，显然有α*≤β*，

此外，由条件(2)及f的……